Bei Aufgabe 1 geht es darum, Funktionsausdrücke ihren Funktionsgraphen zuzuordnen.
Die Funktionsausdrücke entstehen alle aus der Sinusfunktion, die man durch die Zahl 10 verändert hat:

• Durch Multiplikation mit 10, und zwar kann man
  (e) erst mit 10 multiplizieren und dann den Sinus anwenden, also sin(10⋅x)
  oder (a) erst den Sinus anwenden und dann mit 10 multiplizieren, also 10⋅sin(x).
• Ebenso durch Exponentiation mit 10:
  In (b) wird zunächst das Argument x "hoch 10 genommen", also es wird das Produkt aus zehnmal dem Faktor x gebildet, und dann die Sinusfunktion angewandt, also sin(x¹⁰).
  In (c) wird erst die Sinusfunktion angewandt und dann das Ergebnis "hoch 10 genommen", also sin(x)⋅sin(x)⋅sin(x)... ausgerechnet. Ganz präzise müsste man dies vielleicht (sin(x))¹⁰ schreiben, aber da es keine Verwechslungsmöglichkeit gibt, schreibt man einfacher sin(x)¹⁰.
• Schließlich durch zehnfache Iteration:
  In Ausdruck (d) wird die Sinusfunktion auf das Argument x angewandt, dann erneut auf das Ergebnis sin(x) – was also sin(sin(x)) ergibt –, dann erneut – was sin(sin(sin(x))) ergibt –, usw. Die Anzahl der Anwendungen ist zwar nicht spezifiziert und für die Aufgabe tatsächlich auch unerheblich, aber aus dem Kontext kann man vermuten, dass die Anzahl 10 gemeint ist. Diese zehnfach iterierte Sinusfunktion schreibt man übrigens auch sin¹⁰(x).

Der erste Teil der Aufgabe besteht also darin, diese geschachtelten Funktionsausdrücke überhaupt zu verstehen. Es geht also um die fünf Funktionen:

Den Multiplikationspunkt kann man auch weglassen. In etwas anderer Reihenfolge wandert die "10" gewissermaßen durch den Sinus hindurch:

Möchten Sie sich nun die Aufgabe nochmals anschauen?

Es geht also um die fünf Funktionen

Alle diese Funktionen sind auf allen reellen Zahlen definiert; die fünf Schaubilder zeigen jeweils den Definitionsbereich [0,2π] an. Am besten schaut man sich zunächst die Wertebereiche der Funktionen an: Die Schaubilder 2 und 5 haben den gleichen Wertebereich wie die Sinusfunktion selbst, nämlich [-1,1]. Schaubild 1 hat positiven Wertebereich [0,1], Schaulbild 3 den Wertebereich [-10,10] und im Schaubild 4 ist er nicht angegeben.

• Alle Funktionen, bei denen zuletzt der Sinus angewandt wird, können nur Werte im Wertebereich der Sinus-Funktion, also zwischen -1 und 1 annehmen. Somit gehört Funktion (e), d.h. 10 sin(x), zum Schaubild 3.
• Reelle Quadratzahlen sind stets positiv, also auch alle "Hoch-10-Zahlen", da x¹⁰ = (x⁵)². Also gehört Funktion (c), d.h. sin(x)¹⁰, zum Schaubild 1.
• Schaubild 2 oszilliert zehnmal schneller als die normale Sinusfunktion. Dies erreicht mal durch Multiplikation des Arguments mit 10: dadurch wird der Definitionsbereich gewissermaßen von [0,2π] auf [0,20π] gestreckt. Zu diesem Schaubild gehört also die Funktion (a), 10 sin(x).
• Bleiben die etwas mysteriöseren Schaubilder 4 und 5. Schaubild 5 beginnt wie ein langsamer Sinus, der zunehmend schneller oszilliert, so dass man schnell nichts mehr erkennt. Ähnlich wie im vorherigen Fall wird also zunächst das Argument verändert, aber nicht gleichmäßig gestreckt, sondern eine zunehmende Vergößerung ist da. Dies leistet die Exponentialfunktion in Funktion (b), sin¹⁰(x).
• Es bleibt also Funktion (d) für Schaubild 4. Man kann sich zunächst überlegen, was die Funktion sin(sin(x)) macht: der innere Sinus verändert das Argument, und zwar läuft es von 0 bis 1, von 1 zurück bis -1 und wieder hoch nach 0. Allerdings nicht gleichmäßig, sondern in der Nähe von 0 schneller, bei 1 und -1 langsamer. Die Funktion sin(sin(x)) hat daher ein ähnliches Schaubild wie der Sinus, aber etwas ausgestülpter und mit einem Maximum von sin(1) = 0,84.. und einem Minimum von -0,84. Die zehnfache Iteration verstärkt dieses Phänomen: Der Sinus wird abgeflacht (Maximum etwa 0,48) und so weit "ausgestülpot", dass er nahezu eckig wirkt.

Vorausgesetzt man weiß, wie die Sinus-Funktion aussieht, sollte man diese Aufgabe mit Schulmathematik und etwas Geduld lösen können.
Die meisten Mathematiker dürften wie oben angegeben argumentieren, insbesondere die iterierte Sinus-Funktion im Ausschlussverfahren dem verbleibenden Schaubild zuordnen. Vermutlich haben die wenigsten spontan die richtige Vorstellung davon, wie die Funktion aussieht.

Die Fähigkeit, Funkionsterme richtig lesen zu können, ist fundamental für das Mathematikstudium. Ebenso wichtig ist es, sich eine Vorstellung davon bilden zu können, was solch eine Modifizierung einer Funktion (wie hier der Sinus-Funktion) bewirkt.

Einleitung

Eine Zahl wie zum Beispiel 3 kann man auf verschiedene Weisen als Summe natürlicher Zahlen (größer Null) schreiben:

Solch eine Summenschreibweise soll "geordnete Zahlpartition" oder kurz "Partition" der Zahl 3 heißen. Wenn man die Reihenfolge beachtet, also 1+2 und 2+1 als verschiedene Partitionen ansieht, und außerdem die "Summe mit einem Summanden", also 3 selbst, auch als eine Möglichkeit zählt, gibt es also vier Partitionen der 3. Mit P_n soll die Anzahl der Partitionen einer Zahl n bezeichnet werden. Es ist also P₃ = 4. Ebenso sieht man, dass P₄ = 8, da es die acht Möglichkeiten

gibt und keine weiteren. Außerdem ist P₂ = 2, und P₁ = 1, da man 1 nur als 1 schreiben kann. Für n=1,2,3,4 gilt also P_n = 2^n-1. Dies legt den Verdacht nahe, dass diese Gleichung für alle n gilt, und dies ist in der Tat der Fall.

Aufgabe Wie aber beweist ein Mathematiker, dass stets P_n = 2^n-1 ist? Es folgen drei mögliche Argumente. Welches sind Ihrer Einschätzung nach mathematisch gültige Beweise für P_n = 2^n-1?
(Es geht hierbei um die prinzipielle Korrektheit, nicht um eventuell auszuführende Details.)

1. Man rechnet nach, dass P₄ = 16 = 2⁴, da es die 16 Partitionen 5 = 4+1 = 3+2 = 2+3 =
   1+4 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+2 =
   1+3+1 = 1+2+2 = 1+1+3 = 2+1+1+1 =
   1+2+1+1 = 1+1+2+1 = 1+1+1+2 = 1+1+1+1+1

   gibt und keine weiteren. Sicherheitshalber überprüft man auch noch P₅ = 32 = 2⁵. Eine auf so einfache Art definierte Folge, die mit 1,2,4,8,16,32,... beginnt, kann gar nichts anderes sein als die Folge der 2er-Potenzen.

2. Jede Partition von n entsteht aus der Partition 1+1+...+1 (mit n Summanden "1"), indem man manche der Pluszeichen "ausrechnet" (also die Summe bildet) und die anderen stehen lässt. Wenn man eine andere Auswahl der Pluszeichen ausrechnet, entsteht eine andere Partition. Also entspricht die Anzahl der Partitionen von n genau der Anzahl von möglichen Auswahlen der Pluszeichen (die man dann ausrechnet). Da es n Summanden 1 gibt, gibt es n-1 Pluszeichen. Also ist P_n genau die Anzahl möglicher Teilmengen der n-1 Pluszeichen. Dies ist aber gerade 2^n-1.
3. Man beweist die Aussage mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
   Sie gilt für n=1, da P₁ = 1 = 2⁰ = 2^1-1.
   Aus jeder Partition a₁+...+a_k der Zahl n erhält man zwei Partitionen der Zahl n+1, nämlich 1+a₁+...+a_k und a₁+...+a_k+1. Also ist P_n+1 = 2⋅P_n.
   Wenn P_n = 2^n-1, ist also auch P_n+1 = 2⋅P_n = 2⋅2^n-1 = 2ⁿ = 2^(n+1)-1. Damit gilt die Formel, wenn sie für eine Zahl n zutrifft, auch immer für die nächste Zahl n+1. Da sie für n=1 gilt, gilt sie also für alle Zahlen.

1.) ist kein korrekter Beweis, da es nur ein Plausibilitätsargument ist. Es ist durchaus vorstellbar, dass eine einfach definierte Folge zunächst mit den 2er-Potenzen übereinstimmt, sich dann aber ändert. Zum Beispiel ist dies der Fall, wenn man Partitionen mit höchstens 10 Summanden betrachtet.

3.) Vollständige Induktion ist zwar ein gültiges Beweisprinzip, hier funktioniert der Induktionsschritt aber nicht, da nicht jede Partition von n+1 mit einer 1 beginnen oder enden muss, und andererseits alle Partitionen, die mit 1 beginnen und enden doppelt gezählt wurden.
Es werden also einerseits Partitionen vergessen und andererseits welche dopperlt gezählt. Die beiden Phänomene heben sich "zufälligerweise" gerade auf, so dass das Ergebnis stimmt. Der Beweis ist aber trotzdem nicht korrekt.

Dagegen ist 2.) ein im Kern korrekter Beweis, bei dem man je nach Kenntnisstand einige Ausführungen anfügen oder kürzen würde.

Mathematisch korrekt zu argumentieren und vorgelegte Lösungsideen auf Korrektheit zu prüfen, ist das Kerngeschäft der Mathematik. Insbesondere sollte ein Mathematiker auch die Fähigkeit entwickeln, sich relativ rasch in neue mathematische Konzepte hineinzudenken, wie hier die Partitionszahlen.

In der Schule wird das Beweisen üblicherweise nicht geübt, daher dürfte die Aufgabe für Schüler ungewohnt sein. Dass 1.) als Beweis nicht ausreicht, sollte man vielleicht ahnen. Mit etwas Nachdenken kann man den Fehler in der Argumentation 3.) entdecken. Man darf sich nicht davon täuschen lassen, dass dieser "Beweis" sehr viel formaler als 2.) aufgeschrieben ist. Dass 2.) im Grunde ein ordentlicher Beweis ist, erfordert aber einiges an Erfahrung, die man ersts im Laufe des Studiums gewinnt. Insbesondere die Grundvorlesungen in den ersten beiden Semestern trainieren diese Fähigkeiten ausgiebig.