11.4 Gitter und Codes

Inhalt:
Ein Gitter Γ in einem Vektorraum V ist eine additive Untergruppe von V von der Form Γ = , wobei v₁,…,v_n eine Basis von V ist. Anschaulich gesprochen bilden die Punkte γ ∈ Γ ein regelmäßiges Schema, wodurch sich auch natürliche Anwendungen ergeben: Sollen zum Beispiel Orangen möglichst Platz sparend und in regelmäßiger Anordnung gelagert werden, dann müssen die Mittelpunkte der Orangen die Punkte eines Gitters im ℝ³ bilden, und man kann nach dem optimalen Gitter Γ für die Lagerung suchen.

Zum Beispiel auf der Suche nach Gittern mit speziellen Eigenschaften ergeben sich spannende Zusammenhänge zur Gruppentheorie und zur Geometrie, aber auch zur Zahlentheorie und zur Analysis. Eine auf den ersten Blick unerwartete Anwendung der Theorie von Gittern bietet die sogenannte Codierungstheorie. Dabei ist ein Code im mathematischen Sinne eine fest gewählte Menge, deren Elemente die Codewörter sind. Wählt man diese Menge und vor allem ihre mathematischen Eigenschaften geschickt, dann kann man sogar Übermittlungsfehler von Codewörtern korrigieren.

Im Proseminar sollen die Zusammenhänge zwischen den genannten Gebieten der Mathematik erschlossen werden: Die mathematischen Grundlagen der Codierungstheorie und der Theorie der Gitter, sowie einfache Anwendungen werden diskutiert.

Eine Vortragsliste findet man seit dem 31.1.2011 unter
http://www.math.uni-augsburg.de/geo/mitarbeiter/wendland/freiburg/Gitter&Codes.pdf

Literatur:

1.)

Wolfgang Ebeling, Lattices and Codes, Advanced Lectures in Mathematics, Vieweg, 1994