Inhaltsverzeichnis

Liebe Studierende der Mathematik,

zur sinnvollen Planung Ihres Studiums sollten Sie spätestens ab Beginn des 3. Semesters die Studienberatungsangebote des Mathematischen Instituts in Anspruch nehmen (allgemeine Studienberatung des Studiengangkoordinators, Studienfachberatung der einzelnen Abteilungen, Mentorenprogramm). Im Rahmen des Mentorenprogramms der Fakultät wird Ihnen in der Regel am Ende Ihres 3. Semester ein Dozent oder eine Dozentin als Mentor zugewiesen, der oder die Sie zu Beratungsgesprächen einladen wird. Die Teilnahme an diesem Programm wird nachdrücklich empfohlen.

Unabhängig hiervon sollten Sie folgende Planungsschritte beachten:

• Im Bachelor-Studiengang:
  Spätestens am Ende des ersten Studienjahrs: Wahl des Anwendungsfaches
  Ende des 3. Semesters: Planung des weiteres Studienverlaufs
  Beginn des 5. Semesters: Wahl geeigneter Veranstaltungen zur Vorbereitung der Bachelor-Arbeit
• Im Lehramts-Studiengang nach alter Prüfungsordnung
  (Beginn vor WS 10/11):
  Nach Abschluss der Zwischenprüfung, d.h. im allgemeinen nach dem 4. Semester, sollten Sie einen oder mehrere Dozenten der Mathematik aufsuchen, um mit diesen über die Gestaltung des zweiten Studienabschnitts zu sprechen und um sich zur Wahl des Studienschwerpunkts beraten zu lassen.

Hingewiesen sei auch auf die Studienpläne der Fakultät zu den einzelnen Studiengängen; siehe unter http://www.math.uni-freiburg.de/lehre/studiengaenge/index.de.html. Sie enthalten Informationen über die Schwerpunktgebiete in Mathematik sowie Empfehlungen zur Organisation des Studiums. Bitte beachten Sie, dass es im Lehramtsstudiengang je nach Studienbeginn Unterschiede in Bezug auf die Anforderungen gibt.

Zahlreiche Informationen zu Prüfungen und insbesondere zur online-Prüfunganmeldung finden Sie auf den Internetseiten des Prüfungsamts. Einige Hinweise zur Orientierungsprüfung folgen auf den nächsten Seiten.

Die Teilnahme an Seminaren setzt in der Regel den vorherigen Besuch einer oder mehrerer Kurs- oder Spezialvorlesungen voraus. Die Auswahl dieser Vorlesungen sollte rechtzeitig erfolgen. Eine Beratung durch Dozenten oder Studienberater der Mathematik erleichtert Ihnen die Auswahl.

Inwieweit der Stoff mittlerer oder höherer Vorlesungen für Diplom- oder Staatsexamensprüfungen ausreicht bzw. ergänzt werden sollte, geht entweder aus den Kommentaren hervor oder muss rechtzeitig mit den Prüfern abgesprochen werden. Eine Liste der Arbeitsgebiete der Professorinnen und Professoren finden Sie vor dem Sprechstundenverzeichnis.

Alle Studierende der Mathematik (außer im Erweiterungsfach Mathematik im Lehramtsstudiengang) müssen eine Orientierungsprüfung in Mathematik ablegen. Dazu müssen Sie bis zum Ende des zweiten Fachsemesters die folgenden Prüfungsleistungen erbringen:

im Lehramtsstudiengang (Studienbeginn ab WS 2010/2011, Hauptfach,
Beifach zu Musik/bildende Kunst, nicht Erweiterungsfach):
die Modulteilprüfung Analysis I oder die Modulteilprüfung Lineare Algebra I.

Welche der beiden Prüfungen als Orientierungsprüfung zählt, muss bei der Prüfungsanmeldung festgelegt werden. Eine nachträgliche Festlegung ist nicht möglich.

im Studiengang „Bachelor of Science in Mathematik“:
die Modulteilprüfungen Analysis I und Lineare Algebra I.

Bitte informieren Sie sich am Aushangsbrett des Prüfungsamts Mathematik (Eckerstr. 1, 2. OG, Zi. 239/240) über den Ablauf des Prüfungsverfahrens.

Zum WS 2008/09 wurde an der Universität Freiburg der Diplomstudiengang Mathematik sowie der Studiengang Magister Scientiarum aufgehoben; bereits zum WS 2007/08 wurde der Studiengang Magister Artium aufgehoben, einige Teilstudiengänge davon bereits früher.

Für in diese Studiengänge immatrikulierte Studierende sowie für Quereinsteiger gelten folgende Ausschlussfristen, zu denen die genannten Prüfungen letztmalig abgelegt werden können. Eine Fristverlängerung ist unter keinen Umständen möglich.

Diplomstudiengang Mathematik:

Magister-Studiengänge:

Sofern ein Magister-Artium-Studiengang aufgrund der Fächerkombination Teilstudiengänge enthält, die bereits vor dem WS 2007/08 aufgehoben wurden, gelten u. U. andere Fristen.

Die folgende Liste soll einen Überblick geben, aus welchen Gebieten die Professorinnen und Professoren des Mathematischen Instituts zur Zeit Themen für Examensarbeiten vergeben. Die Angaben sind allerdings sehr global; für genauere Informationen werden persönliche Gespräche empfohlen.

Prof. Dr. V. Bangert: Differentialgeometrie und dynamische Systeme

Prof. Dr. E. Eberlein: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. S. Goette: Differentialgeometrie, Topologie und globale Analysis

Prof. Dr. A. Huber-Klawitter: Algebraische Geometrie und Zahlentheorie

Prof. Dr. S. Kebekus: Algebra, Funktionentheorie, Komplexe und Algebraische Geometrie

Prof. Dr. D. Kröner: Angewandte Mathematik, Partielle Differentialgleichungen und Numerik

Prof. Dr. E. Kuwert: Partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung

Prof. Dr. H. R. Lerche: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. H. Mildenberger: Mathematische Logik, darin insbesondere: Mengenlehre und unendliche Kombinatorik

Prof. Dr. P. Pfaffelhuber: Stochastik, Biomathematik

Prof. Dr. L. Rüschendorf: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. M. Růžička: Angewandte Mathematik und Partielle Differentialgleichungen

Prof. Dr. M. Schumacher: Medizinische Biometrie und Angewandte Statistik

Prof. Dr. W. Soergel: Algebra und Darstellungstheorie

Prof. Dr. G. Wang: Partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung

Prof. Dr. K. Wendland: Funktionentheorie, Komplexe Geometrie und Analysis, Mathematische Physik

Prof. Dr. M. Ziegler: Mathematische Logik, Modelltheorie

Nähere Beschreibungen der Arbeitsgebiete finden Sie auf der Internet-Seite

http://www.math.uni-freiburg.de/personen/dozenten.de.html

Informationen zum Vorlesungsangebot in
Strasbourg im akademischen Jahr 2011/2012

 
In Straßburg gibt es ein großes Institut für Mathematik. Es ist untergliedert in eine Reihe von Equipes, siehe:

Seminare und Arbeitsgruppen (groupes de travail) werden dort angekündigt.

Grundsätzlich stehen alle dortigen Veranstaltungen im Rahmen von EUCOR allen Freiburger Studierenden offen. Credit Points können angerechnet werden. Insbesondere eine Beteiligung an den Angeboten des M2 (zweites Jahr Master, also fünftes Studienjahr) ist hochwillkommen. Je nach Vorkenntnissen sind sie für Studierende ab dem 3. Studienjahr geeignet.

In jedem Jahr werden Veranstaltungen zu drei Themenblöcken angeboten, zwei aus der reinen, eines aus der angewandten Mathematik. Im Herbsttrimester haben die Vorlesungen Einführungscharakter, die Veranstaltungen des Frühjahrs sind spezialisierter und bauen darauf auf.

Aktuelle Informationen sind jeweils von hier aus zu finden:

Im akademischen Jahr 2011/12 sind es die Gebiete:

• Géométrie Arithmétique complexe (Arithmetische algebraische Geometrie)
• Théorie et approximation des équations aux dérivées partielles (Theorie und Approximation partieller Differentialgleichungen)

Es gibt ein kommentiertes Vorlesungsverzeichnis:

Unterrichtssprache ist a priori französisch, jedoch besteht große Bereitschaft auf Gäste einzugehen. Vorlesungen auf Englisch sind denkbar. Die Gruppen sind meist klein, so dass individuelle Absprachen möglich sind.

Termine: Die erste Vorlesungsperiode ist Ende September bis Mitte Dezember, die zweite Januar bis April. Eine genauere Terminplanung wird es erst im September geben. Die Stundenpläne sind flexibel. In der Regel wird auf die Bedürfnisse der Freiburger eingegangen werden können. Einzelheiten sind durch Kontatkaufnahme vor Veranstaltungsbeginn zu erfragen.

Fahrtkosten können im Rahmen von EUCOR bezuschusst werden. Am schnellsten geht es mit dem Auto, eine gute Stunde. Für weitere Informationen und organisatorische Hilfen stehe ich gerne zur Verfügung.

oder die jeweils auf den Webseiten genannten Kursverantwortlichen.

Strasbourg – Semaine spéciale: 29.05.–02.06.2012

In der Woche vom 29.5.–2.6.2012 findet in Straßburg ein Vorlesungsblock mit dem Thema

statt. Es finden vier verschiedene Vorlesungsreihen statt.

Weitere Informationen und eine Beschreibung zu den einzelnen Modulen finden Sie unter

Die Veranstaltung richtet sich an Student(inn)en des M2 (zweites Jahr Master, also fünftes Studienjahr), Doktoranden und PostDocs.

W. Soergel (Freiburg): -modules

Zu dieser (kostenlosen) Veranstaltung muss man sich anmelden, und zwar über den Link

Eine Hotelliste von Straßburg findet sich unter

Zuschüsse zu den Kosten können über EUCOR beantragt werden.

Inhalt:
 
Diese Vorlesung ist die Fortsetzung der 2-stündigen Vorlesung Stochastik aus dem WS 2011/12. Sie ist eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik ohne Maßtheorie. In dieser Veranstaltung werden die Denk- und Schlussweisen, die für die mathematische Behandlung von Zufallserscheinungen typisch sind, entwickelt. In diesem Semester werden Themen wie Kombinatorik bei Random Walks, Markov-Ketten und Grundtatsachen der Statistik behandelt werden.

Die Vorlesung ist zweisemestrig und richtet sich an Bachelor- und Lehramtsstudenten.
Der Stoff der Vorlesung kann als Prüfungsstoff für Staatsexamensprüfungen verwendet werden.
Der Besuch der Übungen und der Praktischen Übung wird dringend empfohlen.

Literatur:

1.)

Dümbgen, L.: Stochastik für Informatiker, Springer 2003

2.)

Georgi, H.-O.: Stochastik, Walter de Gruyter 2002

3.)

Kersting, G.; Wakolbinger, A.: Elementare Stochastik, Birkhäuser 2008

4.)

Krengel, U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg 2005

Inhalt:
In dieser Vorlesung werden die Grundlagen für die Entwicklung und Analyse numerischer Algorithmen, die bereits im Teil I dieser Vorlesung im WS 2011/12 behandelt worden sind, fortgesetzt. Während die Schwerpunkte im ersten Teil der Vorlesung die Zahlendarstellung auf Rechnern, Matrixnorm, Banachscher-Fixpunktsatz, lineare und nichtlineare Gleichungssysteme, Berechnung von Eigenwerten und Grundlagen der linearen Optimierung waren, werden im SS 2012 diese Themen weiter vertieft. Neu hinzu kommen Abstiegsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen, Approximation, Interpolation, trigonometrische Interpolation, schnelle Fourier-Transformationen.

Parallel zur Vorlesung wird auch in diesem Semester eine praktische Übung angeboten, in der die in der Vorlesung besprochenen Algorithmen auf den Computern implementiert und an verschiedenen Beispielen getestet werden.

Empfohlen wird die Teilnahme an der Vorlesung Numerik für Differentialgleichungen. Eine sinnvolle Fortsetzung dieser Thematik ist die Vorlesung Einführung in die Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen im WS 2012/13.

Literatur:

1.)

P. Deuflhard, A. Hohmann/F. Bornemann: Numerische Mathematik I, II. De Gruyter 2003, 2002

2.)

J. Stoer, R. Bulirsch: Einführung in die numerische Mathematik I, II. Springer 2007, 2005.

3.)

G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische Mathematik. Springer 1990.

Inhalt:
In dieser Vorlesung werden wir eine axiomatische Charakterisierung der affinen, Euklidischen und projektiven Geometrie betrachten. Ein anderes wichtiges Beispiel liefert die hyperbolische Geometrie, die bis auf das Parallelenaxiom alle Axiome der Euklidischen Geometrie erfüllt. Nach weiterführenden geometrischen Konstruktionen werden wir auch ein topologisches Resultat, die Eulersche Polyederformel, beweisen.

Die Vorlesung richtet sich hauptsächlich an Lehramtsstudentinnen und Lehramtsstudenten und ist Pflichtveranstaltung für alle Studierende im Lehramt mit Haupt- und Beifach Mathematik, die nach der neuen Prüfungsordnung (gültig ab WS 2010/11) geprüft werden.

Literatur:

1.)

Ch. Bär, Elementare Differentialgeometrie, Walter de Gruyter, 2010.

2.)

N. Efimov, Über die Grundlagen der Geometrie. Höhere Geometrie. Bd. I, Vieweg, 1970.

3.)

R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000.

4.)

H. Knörrer, Geometrie, Vieweg, 1996.

Inhalt:
Die komplexe Funktionentheorie ist ein klassisches Gebiet der höheren Mathematik und befasst sich mit der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer komplexen Veränderlichen. Diese können natürlich auch als Funktionen zweier reeller Veränderlichen aufgefasst werden und sind dann nicht nur beliebig oft stetig differenzierbar, sondern genügen außerdem den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Die überraschenden Ergebnisse der komplexen Funktionentheorie können auf die besonderes schönen Eigenschaften dieser Differentialgleichungen zurückgeführt werden. Zum Beispiel sind komplex differenzierbare Funktionen immer analytisch, können also lokal in Potenzreihen entwickelt werden. Außerdem ist eine komplex differenzierbare Funktionen schon durch erstaunlich wenige Daten eindeutig bestimmt: Ihre Werte auf einer Kreisscheibe sind schon durch ihre Werte auf dem Rand eindeutig festgelegt. Die vielen schönen Eigenschaften komplex differenzierbarer Funktionen erlauben zahlreiche Anwendungen in verschiedensten Gebieten der Mathematik und Physik.

Zentrale Themen der Vorlesung sind die Grundlagen der Funktionentheorie, also insbesondere Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, der Cauchysche Integralsatz, die Cauchysche Integralformel, Maximumprinzip und Residuensatz. Sofern die Zeit es erlaubt, werden außerdem konforme Abbildungen, der Riemannsche Abbildungssatz und einfache Inkarnationen des Satzes von Riemann-Roch eingeführt.

Literatur:

1.)

Klaus Jänich, Funktionentheorie, Springer, 2008

2.)

Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 1999

3.)

Reinhold Remmert, Funktionentheorie I, Springer, 1984

4.)

jedes andere Lehrbuch zur Funktionentheorie

Inhalt:
Der Begriff des topologischen Raums verallgemeinert den Begriff des metrischen Raums. Er bietet den generellen Rahmen, in dem Konzepte wie Umgebung, Konvergenz, Kompaktheit, Stetigkeit sinnvoll sind. Im sogenannten mengentheoretischen Teil der Vorlesung wird allgemein studiert, ob und wie sich die grundlegenden Aussagen im ℝⁿ übertragen.

Wie kann man erkennen, dass zwei topologische Räume nicht zueinander homeomorph sind? Der Ansatz zu diesem zentralen Problem ist die Definition von Invarianten. Wir werden insbesondere die Fundamentalgruppe behandeln. Damit können anschauliche Vorstellungen (Zahl der Löcher) präzisiert werden.

Weitere Literatur wird zu Beginn der Vorlesung genannt.

Literatur:

1.)

M.A. Armstrong, Basic Topology (Springer Undergraduate Texts in Mathematics), Springer, 1983.

2.)

K. Jänich, Topologie (7. Auflage), Springer, 2001.

Inhalt:
Dieser Vorlesung liegt die Erkenntnis zugrunde, dass “Ringe dasselbe sind wie Räume” oder noch provokanter gesagt: Ringe sind die besseren Räume. Das Ziel der Vorlesung ist, ihren Hörern diese Erkenntnis zu vermitteln. Von dort ausgehend studieren wir dann parallel Ringe unter einem geometrischen Blickwinkel und Räume mit algebraischen Methoden.

Literatur:

1.)

Atiyah, MacDonald, Introduction to commutative algebra

2.)

Hartshorne, Algebraic Geometry

3.)

Shafarevich, Basic algebraic geometry

4.)

Kunz, Kommutative Algebra

Inhalt:
Dies ist eine Einführung in die mathematische Logik. Gegenstände sind der Gödel’sche Vollständigkeitssatz und die Unvollständigkeitssätze und allererste Einführungen in die Rekursionstheorie, die Modelltheorie und die Mengenlehre.

Literatur:

1.)

Herbert Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, second edition. Harcourt/Academic Press, 2001

2.)

H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas, Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Verlag, 2007.

3.)

Martin Ziegler, Mathematische Logik, Birkhäuser, 2010.

4.)

Mildenberger, Skript „Mathematische Logik”.

5.)

Ziegler, Skript „Mathematische Logik”.

Inhalt:
Symplektische Geometrie kann, vereinfacht gesagt, als die Geometrie hinter der klassischen Hamiltonischen Mechanik verstanden werden. Abgesehen von den Kählermannigfaltigkeiten aus der komplexen Geometrie sind die Kotangentialbündel von glatten Mannigfaltigkeiten die klassischen Beispiele sogenannter symplektischer Mannigfaltigkeiten. Sie tragen eine geschlossene maximal nichtentartete 2-Form, welche jeder (Hamiltonischen) Funktion auf dieser Mannigfaltigkeit eineindeutig ein Vektorfeld zuordnet, wobei dessen Flussgleichung dann mit den Hamiltonischen Gleichungen übereinstimmt.

Analog kann eine Hamiltonische Gruppenwirkung auf der symplektischen Mannigfaltigkeit definiert werden, welche mittels sogenannter symplektischer Reduktion auf viele weitere Beispiele geschlossener symplektischer Mannigfaltigkeiten führt. In dieser Vorlesung wollen wir uns auf torische symplektische Mannigfaltigkeiten konzentrieren, wo die zugrundeliegende Gruppe abelsch, also ein Torus ist.

Ziel dieser Vorlesung ist es zu verstehen, inwiefern es sich hierbei um ein vollständig integrierbares System handelt, d.h. ein Hamiltonisches System, welches vollständig gelöst werden kann. Neben der symplektischen Sichtweise wollen wir dabei vorallem auch den Zugang aus der algebraischen Geometrie benützen, wo torische Mannigfaltigkeiten ebenfalls eine bedeutende Rolle spielen.

Abgesehen von den Grundvorlesungen (Analysis und lineare Algebra) werden Grundkenntnisse aus der Differentialtopologie (Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder, Differentialformen) vorausgesetzt. Andererseits sind Kenntnisse aus der Physik (Hamiltonischer Formalismus aus der klassischen Mechanik) hilfreich zur Motivation, aber nicht notwendig.

Literatur:

1.)

Ana Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry, Lecture Notes in Mathematics 1764, Springer-Verlag, 2008, auf der Webseite der Autorin verfügbar

2.)

Ana Cannas da Silva, Symplectic toric manifolds, CRM Lecture Notes, auf der Webseite der Autorin verfügbar

3.)

David Cox, John Little, Hal Schenck, Toric varieties, Graduate Studies in Mathematics, 124. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.

4.)

Dusa McDuff, Dietmar Salamon, Introduction to symplectic topology. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.

Inhalt:
Die Vorlesung untersucht Eigenschaften linearer Abbildungen, die auf unendlich-dimensionalen Vektorräumen definiert sind. Dies ist motiviert durch Probleme der Physik, bei denen die gesuchte Größe eine Funktion ist und beispielsweise eine Temperaturverteilung beschreibt. Verschiedene Aussagen der linearen Algebra und Analysis für endlich-dimensionale Vektorräume gelten in diesem Fall nicht oder nur unter Zusatzvoraussetzungen. Zum Beispiel gibt es surjektive lineare Abbildungen eines Vektorraumes in sich selbst, die einen nicht-trivialen Kern besitzen. Die wichtigsten Konzepte zur Analyse linearer Operatoren sind geeignete Normen und Konvergenzbegriffe sowie Beschränktheitsprinzipien.

Literatur:

1.)

H.-W. Alt: Lineare Funktionalanalysis, Springer, 2006

2.)

D. Werner: Funktionalanalysis, Springer, 1995

3.)

F. Hirzebruch, W. Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, 1971

4.)

K. Yosida: Functional Analysis, Springer, 1980

Inhalt:

Die Vorlesung “Birationale Geometrie” richtet sich an fortgeschrittene Studenten des Master-, Diplom- und Lehramtsstudienganges, die an einer Abschlussarbeit in algebraischer Geometrie interessiert sind. Thema der Vorlesung wird die birationale Geometrie algebraischer Flächen und höher-dimensionaler Varietäten sein. Die genaue Themenauswahl richtet sich nach den Vorkenntnissen und Interessen der Teilnehmer. Die Teilnehmer sollten bereits grundlegende Vorlesungen in algebraischer Geometrie gehört haben.

Literatur:

1.)

R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer Verlag.

2.)

I. Shafarevich, Basic algebraic geometry. 1. Varieties in projective space. Second edition. Translated from the 1988 Russian edition and with notes by Miles Reid. Springer-Verlag, Berlin, 1994. xx+303 pp. ISBN: 3-540-54812-2

3.)

D. Mumford, The red book of varieties and schemes. Lecture Notes in Mathematics, 1358. Springer-Verlag, Berlin, 1988. vi+309 pp. ISBN: 3-540-50497-4

4.)

A. Beauville, Complex algebraic surfaces. Translated from the 1978 French original by R. Barlow, with assistance from N. I. Shepherd-Barron and M. Reid. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 34. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. x+132pp. ISBN: 0-521-49510-5; 0-521-49842-2, 14Jxx (14-02)

Inhalt:
 
Die Vorlesung “Mathematische Statistik” baut auf Grundkenntnissen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Das grundlegende Problem der Statistik ist die begründete Anpassung eines statistischen Modells zur Beschreibung eines Experimentes. Hierzu wird in der Vorlesung in die wichtigsten Methoden aus der statistischen Entscheidungstheorie wie Test- und Schätzverfahren eingeführt. Weitere Themen sind Ordnungsprinzipien zur Reduktion der Komplexität der Modelle (Suffizienz und Invarianz) sowie einführende Betrachtungen zur asymptotischen Statistik.

Literatur:

1.)

Witting, H.: Mathematische Statistik, Teubner 1985

Inhalt:

Die Veranstaltung schließt an die Vorlesungen Stochasische Prozesse aus dem WS 2011 an. Ein zentrales Thema sind stochastische Integrale der Form ∫ H_sdW_s, wobei (H_t)_t≥0 ein adaptierter Prozess und (W_t)_t≥0 eine Brown’sche Bewegung ist. Darauf aufbauend werden die Itô-Formel und stochastische Differentialgleichungen behandelt. Als Anwendung wird eine Einführung in die Finanzmathematik gegeben, wobei die Black-Scholes Theorie für Optionsbewertung im Zentrum stehen wird.

Literatur:

1.)

Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, 2008

2.)

Olav Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer, 2002

3.)

Damien Lamberton and Bernard Lapeyre. Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman and Hall, 2002

4.)

Philip Protter. Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, 2003

5.)

Steven Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer, 2008

Inhalt:
Die mathematischen Modelle für Wachstums-, Wärmeleitungs- oder Diffusionsprozesse bestehen aus Anfangswertproblemen oder Randwertproblemen für Differentialgleichungen. Im einfachsten Falle sind dies gewöhnliche Differentialgleichungen. Hierbei handelt es sich um Gleichungen, in denen sowohl die gesuchte Funktion als auch ihre Ableitungen vorkommen, im Allgemeinen in einem nichtlinearen Zusammenhang. Nur in den einfachsten Fällen können die Lösungen dieser Gleichungen explizit angegeben werden. Im Allgemeinen ist man daher auf die numerische Lösung mit Hilfe eines Computers angewiesen.

Wir werden in dieser Vorlesung zunächst die theoretischen Grundlagen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen behandeln. Im Anschluss daran und aufbauend auf den Ergebnissen aus der Vorlesung Numerik werden numerische Verfahren zur Lösung dieser Differentialgleichungen entwickelt und deren Konvergenz gegen die exakte Lösung analysiert.

Will man bei Wachstumsprozessen nicht nur die Gesamtpopulation untersuchen, sondern auch deren räumliche Fluktuation, ist man auf die Modellierung durch partielle Differentialgleichungen angewiesen. Dies gilt auch für die räumliche Ausbreitung etwa von akustischen Störungen oder die Wärmeleitung oder Diffusion in mehreren Raumdimensionen. Wir werden daher auch Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen oder Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen behandeln.

Literatur:

1.)

J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische Mathematik I, II. Springer 2007, 2005.

2.)

P. Deuflhard, A. Hohmann/F. Bornemann: Numerische Mathematik I, II. De Gruyter 2003, 2002

Inhalt:
Viele Phänomene in der Natur lassen sich durch mathematische Modelle, insbesondere durch partielle Differentialgleichungen, beschreiben. Die wichtigsten unter diesen sind die elliptischen, die parabolischen und die hyperbolischen Differentialgleichungen. Gesucht werden jeweils Funktionen mehrerer Veränderlicher, deren Ableitungen gewisse Gleichungen erfüllen.

Eine besondere Klasse von partiellen Differentialgleichungen bilden die hyperbolischen Erhaltungssätze. Trotz beliebig glatter Daten (damit sind Randwerte, Anfangswerte und die Koeffizienten gemeint) können die zugehörigen Lösungen unstetig sein. Ihre Behandlung ist daher eine besondere Herausforderung an die Analysis und die Numerik.

Diese Differentialgleichungen sind z.B. mathematische Modelle für Strömungen kompressibler Gase und für verschiedene Probleme aus den Bereichen Astrophysik, Grundwasserströmungen, Meteorologie, Halbleitertechnik und reaktive Strömungen. Beispielsweise ist das mathematische Modell für eine Supernova von derselben Struktur wie das für die Verbrennung in einem Fahrzeugmotor. Kenntnisse in diesen Bereichen werden aber nicht vorausgesetzt. In der Vorlesung sollen die theoretischen Grundlagen geschaffen werden, um Simulationen der oben genannten Probleme am Computer durchzuführen.

Die Vorlesung setzt die Veranstaltung “Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, Teil I” aus dem Wintersemester fort. Kenntnisse in Theorie oder Numerik für elliptische oder parabolische Differentialgleichungen werden nicht vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

D. Kröner, Numerical Schemes for Conservation Laws, Wiley und Teubner, Chichester, Stuttgart (1997)

2.)

R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser Verlag, Basel (1992)

3.)

R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge Texts in Applied Mathematics (2002)

Inhalt:
Descriptive Set Theory is the study of “definable subsets” of the real line or, more generally, of Polish spaces (i.e. separable completely metrizable spaces). In this theory, sets are classified in hierarchies according to the minimal complexity of their definitions, and the structure of the sets in each level of these hierarchies is systematically analyzed. The main aim of these lectures is to provide a basic introduction to this theory, with an emphasis on the various hierarchies of sets of reals. In particular, we will study the finest possible (in the topological sense) hierarchy of sets, namely the so-called Wadge hierarchy. Its analysis involves the use of various methods, including infinite zero-sum perfect information games between two players, so part of the lectures will be devoted to an abstract presentation of these methods.

Literatur:

1.)

Alexander A. Kechris, Classical descriptive set theory, volume 156 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995.

2.)

Yiannis N. Moschovakis. Descriptive Set Theory. North Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1980.

3.)

Robert A. Van Wesep. Wadge degrees and descriptive set theory. In Alexander S. Kechris and Yiannis N. Moschovakis, editors, Cabal Seminar 76-77, number 689 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1978.

4.)

William W. Wadge. Reducibility and Determinateness on the Baire space. Ph.D. thesis, University of California, Berkeley, 1983.

Inhalt:
Die Geometrie ist eine der ältesten Disziplinen der Mathematik und diejenige, die bereits im Altertum in Euklids Elementen als logisch strukturiertes Wissenschaftsgebiet ausformuliert wurde. Auch innerhalb der Schulmathematik hat die Geometrie eine besonders wichtige Bedeutung. Denn diese trägt durch ihren deduktiv orientierten Aufbau dazu bei, wichtige Kompetenzen zu vermitteln. So kann etwa das Definieren, das Entwickeln von Vermutungen, das entdeckende Lernen, das Begründen, das Verständnis für mathematische Beweismethoden in Verbindung mit den Gesetzen der Logik, sowie das Raumvorstellungsvermögen gefördert werden. Wichtige Inhalte sind: Synthetische Geometrie, Abbildungen, Flächen- und Rauminhalte, der Zusammenhang zwischen synthetischer, algebraischer und analytischer Geometrie und deren altersgemäße Vermittlung, sowie Anwendungen und Geschichte der Geometrie, Axiomatik und ein Beispiel einer nichteuklidischen Geometrie. Elemente der Stochastik sollen unter den Leitideen Daten und Zufall und Modellieren nach den neuen Bildungsstandards durchgehend unterrichtet werden. Im Blickfeld liegt dabei besonders die Stärkung der Problemlösekompetenz der Schülerinnen und Schüler. Wichtige Inhalte sind: Veranschaulichung von Daten und deren Interpretation, Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, etwas Kombinatorik, Urnenmodell, Verteilungen, ein Testverfahren. Übungen: Es werden wöchentlich Übungsaufgaben bearbeitet.

Literatur:

1.)

Hans Schupp: Figuren und Abbildungen, SLM, Verlag Franzbecker

2.)

Gerhard Holland: Geometrie in der Sekundarstufe, Spektrum Verlag

3.)

Erich Wittmann: Elementargeometrie und Wirklichkeit, Vieweg Verlag

4.)

Beat Eicke: Statistik, Verlag Pythagoras Lehrmittel

5.)

Arthur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Band I, Klett Studienbücher

6.)

Schulbücher: Lambacher-Schweizer, Klett-Verlag; Neue Wege, Schroedel-Verlag u.a.

Inhalt:
Medien (Computer, Taschenrechner, Mathematik-Software) spielen im Mathematikunterricht eine immer größere Rolle. Dies liegt zum Einen an der ständigen Weiterentwicklung ihrer technischen, unterrichtlich relevanten Fähigkeiten. Zum Anderen können diese Hilfsmittel einerseits wenig motivierende Routine-Rechnungen wie z. B. Termumformungen übernehmen, andererseits ermöglichen sie die Visualisierung mathematischer Zusammenhänge. Dies schafft Raum für kreative Aktivitäten und die Vermittlung von Kompetenzen wie z. B. die Förderung des entdeckenden Lernens oder der Problemlösefähigkeiten. Es setzt aber bei der Lehrperson eine umfassende Kenntnis dieser Hilfsmittel voraus. Ziel dieses Seminars soll daher sein, die für den Mathematikunterricht relevanten Medien sowie deren sinnvollen unterrichtlichen Einsatz kennen zu lernen.
Wichtig sind folgende Inhalte:

1.

Die Verwendung einer Tabellenkalkulation

2.

Der Einsatz eines dynamischen Geometrie-Programms

3.

Die Nutzung eines PC-gestützten Computer-Algebra-Systems

4.

Der Einsatz grafischer Taschenrechner (z.B. Ti-83+) und CAS-Rechner (z.B. V 200)

5.

Mathematik-Programme im Internet (E-Learning u. ä.)

Inhalt:
Wie kann man Schüler motivieren und zur Eigentätigkeit und selbstständigem Entdecken anregen? Wie kann man eine Unterrichtsstunde strukturieren? Dies sind zentrale Fragen in der Methodik des Mathematikunterrichts. Diesen und ähnlichen Fragen werden wir im Seminar nachgehen und an Hand unterschiedlicher Unterrichtsmethoden untersuchen. Dabei werden wir uns insbesondere mit dem Lehrervortrag, dem fragend entwickelnden Unterrichtsgespräch, der Planarbeit, dem Lernen an Stationen, dem Gruppenpuzzle, der Projektarbeit und der Aufgabenvariation befassen.

Wir wollen die jeweiligen Methoden kennen lernen und sie praktisch erproben – zum Teil im Unterricht an einem Freiburger Gymnasium – zum Teil in der Seminargruppe. Die Teilnehmer entwickeln dabei eigene Unterrichtsentwürfe und führen Unterrichtssequenzen durch. Dabei wollen wir uns kritisch mit den Vor- und Nachteilen der jeweiligen Methoden auseinandersetzen.

Literatur:

1.)

Vogel, R.: Lernstrategien in Mathematik

2.)

Wiechmann, J.: Zwölf Unterrichtsmethoden

3.)

Kretschmer, H.: Schulpraktikum

4.)

Barzel, B., Büchter, A., Leuders, T.: Mathematik Methodik – Handbuch für die Sek. I und II

Inhalt:
In dieser praktischen Übung werden die in der Vorlesung Numerik (Teil II) besprochenen Algorithmen implementiert und an praktischen Beispielen getestet. Die praktische Übung findet 14-täglich abwechselnd mit den Übungen zur Vorlesung statt.

Es sind Kenntnisse der Programmiersprache C erforderlich.______________

Inhalt:
Die praktische Übung richtet sich an Hörer der Vorlesung Stochastik. Es werden computer-basierte Methoden diskutiert, die das Verständnis des Stoffes der Vorlesung vertiefen. Die praktische Übung wird auf der Basis des frei verfügbaren Statistik-Paketes R durchgeführt.

Nach einer Einführung in R werden Verfahren der deskriptiven Statistik und der graphischen Darstellung und Auswertung von Daten erläutert. Programmierkenntnisse werden nicht vorausgesetzt. Im zweiten Teil werden sowohl parametrische als auch nichtparametrische Testverfahren sowie Verfahren der linearen Regressions- und der Varianzanalyse diskutiert.

Die praktische Übung ist für Bachelor-Studierende verpflichtend.

Es werden die Laptops der Studierenden eingesetzt. Idealerweise sollte auf diesen dazu bereits R sowie ein VPN-Client für den Zugang zum WLAN der Uni Freiburg installiert sein. Entsprechende Links zum Download der Software sowie Hinweise zur Installation unter Linux, Mac OS X und Windows finden Sie auf der Webseite der Veranstaltung http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vorlesungen/vvSS2012/PraStoch/.

Inhalt:
In dieser praktischen Übung werden die in der Vorlesung zu besprechenden Algorithmen zur Lösung von Differentialgleichungen implementiert und an verschiedenen Beispielen getestet.
(Zusammen mit der Vorlesung gibt es einen ECTS-Punkt.)______________

Inhalt:
 

Die Benutzer des Internet generieren –gewollt oder ungewollt– riesige Datenmengen. Im Seminar “Collective Intelligence” geht es um Verfahren, aus diesen Daten Informationen zu extrahieren, die etwa für Zwecke der Marktforschung wichtig sind. Ein Beispiel ist Googles PageRank-Algorithmus, bei dem die Relevanz eines Suchergebnisses durch die Verlinkungsstruktur des gesamten Internets bestimmt wird. Andere Beispiele sind Amazons Produktempfehlungen oder Spam-Filter, die aus tausenden von Beispielen selbstständig Regeln zum sicheren Erkennen unerwünschter Werbe-Mail abstrahieren.

In diesem Proseminar werden wir zahlreiche Anwendungsbeispiele kennenlernen und den jeweiligen mathematischen Hintergrund untersuchen.

Literatur:

1.)

Toby Segaran, Programming Collective Intelligence, O’Reilly, 2007

Inhalt:
In diesem Proseminar werden Themen der klassischne Vektoranalysis behandelt. Die Integration auf Mannigfaltigkeiten wird mittels Differentialformen eingeführt. Das Ziel dieser Theorie sind die Integralsätze der Vektoranalysis insbesondere der allgemeine Satz von Stokes. Einige Grundfragen der Vektoranalysis sind physikalisch motiviert. Einige dieser Motivationen sollen in dem Proseminar besprochen werden.

Literatur:

1.)

Königsberger, Konrad: Analysis 2 (5. korr. Aufl.), Springer, 2004

Inhalt:
Viele interessante Differentialgleichungen treten im Zusammenhang mit infinitesimalen Symmetrien in mathematischen und physikalischen Problemen auf. Eine Punktladung erzeugt ein elektrisches Feld (ein Vektorfeld auf dem ℝ³), und die Maxwell–Gleichungen führen auf die Poisson–Gleichung, eine partielle Differentialgleichung, die beschreibt, wie sich ein Teilchen in diesem elektrischen Feld verhält. Bei der Quantisierung des Wasserstoffatoms führt die Schrödinger–Gleichung auf die radiale Laplace–Gleichung, die wiederum zu einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt. In beiden Fällen ermöglicht es die zu Grunde liegende Rotationssymmetrie, die Gleichungen zu lösen.

Das Ziel dieses Proseminars ist es, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen sowie Lösungsmethoden von einfachen Klassen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen kennenzulernen und herzuleiten. Das beinhaltet eine elementare Einführung in die Techniken aus der Funktionalanalysis. Im zweiten Teil betrachten wir Differentialgleichungen mit stetigen Symmetrien, die insbesondere in der Physik auftreten. Solche Symmetrien bilden sogenannte Lie–Gruppen. Die Eigenschaften dieser Lie–Gruppen führen zu weiteren Methoden, um Lösungen dieser Differentialgleichungen zu finden. Insbesondere erlauben sie es, das Problem die Differentialgleichungen zu lösen, in ein rein geometrisches Problem zu übersetzen. Dabei spielen Flüsse von Vektorfeldern auf Untermannigfaltigkeiten im ℝⁿ eine zentrale Rolle.

Die meisten dieser Methoden und Resultate haben eine Verallgemeinerung auf allgemeine Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension. Das Proseminar kann daher auch als Einstieg in die Differentialgeometrie dienen.

Literatur:

1.)

W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000

2.)

B. Aulbach, Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Spektrum Akademischer Verlag, 2004

3.)

P. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer, 1993

4.)

H. Stephani, Differential Equations: Their Solutions Using Symmetries, Cambridge University Press, 1989

Inhalt:

In diesem Proseminar diskutieren wir die Fourierreihen

mit dem Buch “Fourier Analysis. An Introduction” von Stein und Shakarchi, das erste Buch von der Serie “Princeton Lectures in Analysis”. Einen Kommentar über das Buch finden Sie in MathSciNet http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=IID&s1=166825&vfpref=html&r=21&mx-pid=1970295

Fourierreihen haben zahllose Anwendungen in fast allen Gebieten der Mathematik. Es ist eine interessante und anspruchsvolle Aufgabe für Studenten im 2. Semester an diesem Seminar teilzunehmen.

Literatur:

1.)

Stein and Shakarchi, Fourier Analysis. An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, 2003 (Kapitel 1 – Kapitel 5)

Inhalt:
Additive Kombinatorik beschäftigt sich mit dem Verhalten von unstrukturierten Objekten, wie Mengen und Folgen, die in algebraischen Objekten, etwa Gruppen oder Vektorräumen liegen. Ein typisches Ergebnis ist der Satz von Schur: Werden die ganzen Zahlen von 1 bis e ⋅ k! in k Mengen eingeteilt, so enthält wenigstens eine dieser Mengen Zahlen x,y,z mit x + y = z. Diese Theorie hat eine Vielzahl von Anwendungen, da sich mit ihrer Hilfe zeigen lässt, dass unter einer genügend großen Zahl von Objekten mindestens eines gewisse Zusatzeigenschaften erfüllt. Bekannte Beispiele dafür sind die Endlichkeit der Klassenzahl und die Existenz von unendlich vielen Carmichaelzahlen.

Obwohl die Fragestellungen elementar sind, und manche Beweise ohne irgendwelche Vorkenntnisse auskommen, braucht man für ein tieferes Verständnis doch Hilfsmittel aus der Fouriertheorie, der algebraischen Geometrie und der Stochastik. In diesem Proseminar werden wir diese Methoden entwickeln und auf verschiedene Probleme anwenden.

Das Proseminar findet als Blockveranstaltung in der Woche vom 30.7. bis zum 3.8. statt.

Literatur:

1.)

Tao, Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press, 2006

2.)

Geroldinger, Halter-Koch, Non-unique Factorization, CRC, 2006

Inhalt:
Es werden ausgewählte Fragen der geometrischen Variationsrechnung behandelt. Ein Thema mit mehreren Vorträgen ist die Theorie der mehrdimensionalen BV-Funktionen, mit Anwendung auf die isoperimetrische Ungleichung im ℝⁿ. Weiter sollen Randwertaufgaben für Minimalflächen behandelt werden. Einzelne weitere Themen und Literatur werden in der Vorbesprechung genannt.

Das Seminar wendet sich an Studierende im Bachelor und Master, mit Grundkenntnissen in Variationsrechnung (z. B. Vorlesung WS 2011/12) oder in partiellen Differentialgleichungen. Einige Vorträge können mit der Anfertigung einer Bachelor-Arbeit verbunden werden.  
Alle Interessenten werden gebeten, sich möglichst früh (vor der Vorbesprechung) beim Dozenten zu melden.

Literatur:

1.)

Evans, L.C., Gariepy, R.F., Measure theory and fine properties of functions (Chapter 5), CRC Press, 1992.

2.)

Kuwert, E., Einführung in die Theorie der Minimalflächen, http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/lehre/skripten/, Vorlesung, Freiburg 1998.