4.2 Homotopietheorie

Inhalt:

Homotopietheorie ist ein Teilgebiet der algebraischen Topologie; man benutzt also algebraische Methoden, um topologische Räume und stetige Abbildungen zu studieren. Umgekehrt löst man manche algebraischen Probleme mit topologischen Methoden.

In diesem Seminar untersuchen wir die Beziehungen zwischen (Ko-)Homologie auf der einen und Homotopietheorie auf der anderen Seite. Der Satz von Hurewicz stellt einen Zusammenhang zwischen der ersten nicht verschwindenden Homotopie- und der entsprechenden Homologiegruppe her. Hindernistheorie beschreibt Probleme bei der Konstruktion bestimmter Erweiterungen oder Hebungen von Abbildungen durch Kohomologieklassen.

Der Brownsche Darstellungssatz sagt, dass sich jede verallgemeinerte Kohomologietheorie auf CW-Komplexen darstellen lässt durch Homotopieklassen von Abbildungen in ein vorgegebenes Spektrum, das heißt, in eine Folge topologischer Räume. Für singuläre Kohomologie sind das die Eilenberg-McLane-Räume. Topologische K-Theorie beschreibt Vektorbündel auf topologischen Räumen, sie wird dargestellt durch die topologische Gruppe U = lim _n→∞U(n) und den Raum ℤ × BU, wobei BU den klassifizierenden Raum von U bezeichne. Verallgemeinerte Homologietheorien lassen sich ähnlich darstellen.

Außerdem wollen wir einige verwandte Themen und Anwendungen der genannten Methoden besprechen, z.B. Hindernistheorie, Topologie von Schleifenräumen, höhere Homotopiegruppen von Sphären, etc.

Literatur:

1. A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html