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8.6 Arithmetische Geometrie

Vorlesung:  

Arithmetische Geometrie

  

Dozentin:  

Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter

  

Zeit/Ort:  

Mo, Mi 10–12 Uhr, HS II, Albertstr. 23 b

  

Übungen:  

2std. n.V.

  

Tutorium:  

Dr. Matthias Wendt

  

Web-Seite:  

 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithmetische-geometrie/lehre/ws10/arithmie.html
  
 
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Inhalt:
Arithmetische Geometrie ist Zahlentheorie mit den Mitteln der algebraischen Geometrie. Der Grundkörper ist also nicht mehr algebraisch abgeschlossen, sondern Q, Fp oder gar Z (also ein Ring). Fragen nach der Lösbarkeit von Gleichungen werden zu Fragen nach der Existenz von Punkten auf Varietäten.

In dieser zweisemestrigen Vorlesung soll es um die Weil-Vermutungen für Varietäten über endlichen Körpern gehen. Wir betrachten ein System von Polynomgleichungen über Fp. Es hat über jedem endlichen Körper Fpr eine endliche Zahl Nr von Lösungen. Diese kodiert man in die Funktion

( ) ∑∞ tr Z(t) = exp Nr -- r=1 r

Erstaunlicherweise ist dies eine rationale Funktion, also ein Element von Q(t)! Sie erfüllt eine Funktionalgleichung und man kann Aussagen über die Nullstellen und Pole machen.

Als Hilfsmittel benötigen wir Kohomologie von etalen Garben, die uns die meiste Zeit beschäftigen wird. Irgendwann werden wir auch um den Begriff des Schemas nicht herumkommen.

Literatur:

  1. R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer Verlag.
  2. E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjecture, Springer Verlag.
  3. P. Deligne, La conjecture de Weil. I, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 43 (1974), 273–307.
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Typisches Semester:  

ab dem 4. Semester

ECTS-Punkte:  

9

Studienschwerpunkt:  

Algebraische Geometrie oder Zahlentheorie

Notwendige Vorkenntnisse:  

Einf. in die alg. Geometrie, Algebra

Folgeveranstaltungen:  

Arithmetische Geometrie II, Bachelor-Seminar

Studienleistung:  

Übungen

Prüfungsleistung:  

mündliche Prüfung

Sprechstunde Dozentin:  

Mi 11–12 Uhr, Raum 434, Eckerstr. 1

Sprechstunde Assistent:  

Mi 11–12 Uhr, Raum 436, Eckerstr. 1

 

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