Inhaltsverzeichnis

Liebe Studierende der Mathematik,

zur sinnvollen Planung Ihres Studiums sollten Sie spätestens ab Beginn des 3. Semesters die Studienberatungsangebote des Mathematischen Instituts in Anspruch nehmen (allgemeine Studienberatung des Studiengangkoordinators, Studienfachberatung der einzelnen Abteilungen, Mentorenprogramm). Im Rahmen des Mentorenprogramms der Fakultät wird Ihnen in der Regel am Ende Ihres 3. Semester ein Dozent oder eine Dozentin als Mentor zugewiesen, der oder die Sie zu Beratungsgesprächen einladen wird. Die Teilnahme an diesem Programm wird nachdrücklich empfohlen.

Unabhängig hiervon sollten Sie folgende Planungsschritte beachten:

• Im Bachelor-Studiengang:
  Spätestens am Ende des ersten Studienjahrs: Wahl des Anwendungsfaches
  Ende des 3. Semesters: Planung des weiteres Studienverlaufs
  Beginn des 5. Semesters: Wahl geeigneter Veranstaltungen zur Vorbereitung der Bachelor-Arbeit
• Im Lehramts-Studiengang nach alter Prüfungsordnung
  (Beginn vor WS 10/11):
  Nach Abschluss der Zwischenprüfung, d.h. im allgemeinen nach dem 4. Semester, sollten Sie einen oder mehrere Dozenten der Mathematik aufsuchen, um mit diesen über die Gestaltung des zweiten Studienabschnitts zu sprechen und um sich zur Wahl des Studienschwerpunkts beraten zu lassen.

Hingewiesen sei auch auf die Studienpläne der Fakultät zu den einzelnen Studiengängen unter http://www.math.uni-freiburg.de/lehre/studiengaenge/index.de.html. Sie enthalten Informationen über die Schwerpunktgebiete in Mathematik sowie Empfehlungen zur Organisation des Studiums. Bitte beachten Sie, dass es im Lehramtsstudiengang je nach Studienbeginn Unterschiede in Bezug auf die Anforderungen gibt.

Zahlreiche Informationen zu Prüfungen und insbesondere zur online-Prüfunganmeldung finden Sie auf den Internetseiten des Prüfungsamts. Einige Hinweise zur Orientierungsprüfung folgen auf den nächsten Seiten.

Die Teilnahme an Seminaren setzt in der Regel den vorherigen Besuch einer oder mehrerer Kurs- oder Spezialvorlesungen voraus. Die Auswahl dieser Vorlesungen sollte rechtzeitig erfolgen. Eine Beratung durch Dozenten oder Studienberater der Mathematik erleichtert Ihnen die Auswahl.

Inwieweit der Stoff mittlerer oder höherer Vorlesungen für Diplom- oder Staatsexamensprüfungen ausreicht bzw. ergänzt werden sollte, geht entweder aus den Kommentaren hervor oder muss rechtzeitig mit den Prüfern abgesprochen werden. Eine Liste der Arbeitsgebiete der Professorinnen und Professoren finden Sie vor dem Sprechstundenverzeichnis.

Alle Studierende der Mathematik (außer im Erweiterungsfach Mathematik im Lehramtsstudiengang) müssen eine Orientierungsprüfung in Mathematik ablegen. Dazu müssen Sie bis zum Ende des zweiten Fachsemesters die folgenden Prüfungsleistungen erbringen:

im Lehramtsstudiengang nach WPO (Studienbeginn vor WS 2010/2011), HF:

1)

wahlweise ein Übungsschein zu einer der Vorlesungen Analysis I oder Analysis II

und

2)

wahlweise ein Übungsschein zu einer der Vorlesungen Lineare Algebra I oder Lineare Algebra II

im Lehramtsstudiengang nach GymPO (Studienbeginn ab WS 2010/2011),
HF oder BF zu Musik/bildende Kunst:
die Modulteilprüfung Analysis I oder die Modulteilprüfung Lineare Algebra I.

Welche der beiden Prüfungen als Orientierungsprüfung zählt, muss bei der Prüfungsanmeldung festgelegt werden. Eine nachträgliche Festlegung ist nicht möglich.

Bitte beachten Sie auch die exemplarischen Studienabläufe im Modulhandbuch, siehe
http://www.math.uni-freiburg.de/lehre/dokumente/modulhandbuch-la-mathe.pdf

im Studiengang „Bachelor of Science in Mathematik“:
die Modulteilprüfungen Analysis I und Lineare Algebra I.

Bitte informieren Sie sich am Aushangsbrett des Prüfungsamts Mathematik (Eckerstr. 1, 2. OG, Zi. 239/240) über den Ablauf des Prüfungsverfahrens.

(HF, Studienbeginn bis WS 2009/2010)

Wir empfehlen, die Zwischenprüfung in Mathematik nach dem 3. Semester oder zu Beginn des 4. Semesters abzulegen.

Prüfungsgegenstände der zwei Teilprüfungen sind:

Mathematik I: Lineare Algebra I, II und Stoff im Umfang einer weiterführenden, mindestens zweistündigen Vorlesung,

Mathematik II: Analysis I, II und Stoff im Umfang einer weiterführenden, mindestens zweistündigen Vorlesung.

Bei einer der Prüfungen müssen die Kenntnisse aus der weiterführenden Vorlesung dem Umfang einer vierstündigen Vorlesung entsprechen.

Im Wintersemester werden die folgenden Vorlesungen angeboten, die in der Zwischenprüfung als weiterführende Vorlesung im Sinne der Prüfungsordnung vor allem in Frage kommen:

• Numerik (1. Teil der zweisemestrigen Veranstaltung) (S. Bartels)
• Stochastik (1. Teil der zweisemestrigen Veranstaltung) (E. Eberlein)
• Analysis III (G. Wang)
• Algebra und Zahlentheorie (S. Kebekus)

Studierenden, die ihr Studium und ihre Prüfungsvorbereitung anhand anderer Vorlesungen oder anhand von Literatur planen, wird dringend geraten, dies in Kontakt mit einer Dozentin oder einem Dozenten der Mathematik zu tun.

Bitte nutzen Sie die Angebote der Studienberatung.

Gegebenenfalls ist auch ein Gespräch mit dem Vorsitzenden des Prüfungsausschusses zweckmäßig.

Studierende, die sich am Ende der Vorlesungszeit einer Prüfung unterziehen wollen, müssen sicherstellen, dass sie rechtzeitig die erforderlichen Scheine erworben haben.

An die Studierenden des 3. Semesters Lehramt nach GymPO

(HF, auch HF zu Musik/bildende Kunst, Studienbeginn ab WS 2010/2011)

Die Zwischenprüfung besteht aus den mündlichen Prüfungen über Analysis I und II sowie über Lineare Algebra I und II. Sie sollte bis zum Ende des vierten Fachsemesters abgelegt werden.

Zum WS 2008/09 wurde an der Universität Freiburg der Diplomstudiengang Mathematik sowie der Studiengang Magister Scientiarum aufgehoben; bereits zum WS 2007/08 wurde der Studiengang Magister Artium aufgehoben, einige Teilstudiengänge davon bereits früher.

Für in diesen Studiengängen immatrikulierte Studierende sowie für Quereinsteiger gelten folgende Ausschlussfristen, bis zu denen die Zulassung zur Abschlussprüfung erlangt werden muss (Ausnahme: Magister Artium, siehe unten). Eine Fristverlängerung ist unter keinen Umständen möglich.

Diplomstudiengang Mathematik:

Magister-Studiengänge:

Sofern ein Magister-Artium-Studiengang aufgrund der Fächerkombination Teilstudiengänge enthält, die bereits vor dem WS 2007/08 aufgehoben wurden, gelten u. U. andere Fristen.

Die folgende Liste soll einen Überblick geben, aus welchen Gebieten die Professorinnen und Professoren des Mathematischen Instituts zur Zeit Themen für Examensarbeiten vergeben. Die Angaben sind allerdings sehr global; für genauere Informationen werden persönliche Gespräche empfohlen.

Prof. Dr. V. Bangert: Differentialgeometrie und dynamische Systeme

Prof. Dr. S. Bartels: Angewandte Mathematik, Partielle Differentialgleichungen und Numerik

Prof. Dr. E. Eberlein: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. S. Goette: Differentialgeometrie, Topologie und globale Analysis

Prof. Dr. A. Huber-Klawitter: Algebraische Geometrie und Zahlentheorie

Prof. Dr. S. Kebekus: Algebra, Funktionentheorie, Komplexe und Algebraische Geometrie

Prof. Dr. D. Kröner: Angewandte Mathematik, Partielle Differentialgleichungen und Numerik

Prof. Dr. E. Kuwert: Partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung

Prof. Dr. H. R. Lerche: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. H. Mildenberger: Mathematische Logik, darin insbesondere: Mengenlehre und unendliche Kombinatorik

Prof. Dr. P. Pfaffelhuber: Stochastik, Biomathematik

Prof. Dr. L. Rüschendorf: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. M. Růžička: Angewandte Mathematik und Partielle Differentialgleichungen

Prof. Dr. M. Schumacher: Medizinische Biometrie und Angewandte Statistik

Prof. Dr. W. Soergel: Algebra und Darstellungstheorie

Prof. Dr. G. Wang: Partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung

Prof. Dr. K. Wendland: Funktionentheorie, Komplexe Geometrie und Analysis, Mathematische Physik

Prof. Dr. M. Ziegler: Mathematische Logik, Modelltheorie

Nähere Beschreibungen der Arbeitsgebiete finden Sie auf der Internet-Seite

http://www.math.uni-freiburg.de/personen/dozenten.de.html

Informationen zum Vorlesungsangebot in
Straßburg im akademischen Jahr 2012/2013

 
In Straßburg gibt es ein großes Institut für Mathematik. Es ist untergliedert in eine Reihe von Equipes, siehe:

Seminare und Arbeitsgruppen (groupes de travail) werden dort angekündigt.

Grundsätzlich stehen alle dortigen Veranstaltungen im Rahmen von EUCOR allen Freiburger Studierenden offen. Credit Points können angerechnet werden. Insbesondere eine Beteiligung an den Angeboten des M2 (zweites Jahr Master, also fünftes Studienjahr) ist hochwillkommen. Je nach Vorkenntnissen sind sie für Studierende ab dem 3. Studienjahr geeignet.

Le but du programme est surtout de présenter les sujets indispensables dans tous les domaines de la mathématique contemporaine, et qui n’était pas inclus dans les cours précédents. Il laisse l’introduction aux domaines de recherches avancés aux dernières séances des cours, directeurs de mémoires ainsi que à la semaine spéciale.

Premier trimestre. Cinq cours fondamentaux, 35 heures/cours.

1.

Carlo Gasbarri. Géométrie algébrique et algèbre commutative.

2.

Pierre Guillot. Topologie algébrique.

3.

Alexandru Oancea. Géométrie symplectique et de contact.

4.

Daniel Panazzolo. Équations différentielles.

5.

Pierre Py. Groupes de Lie. Réseaux.

Deuxième trimestre. Cinq ou six cours fondamentaux et spéciaux, 25 heures/cours.

1.

Martin Bordemann. Systèmes intégrables.

2.

Viatcheslav Kharlamov. Éléments de la géométrie énumérative.

3.

Gianluca Pacienza. Surfaces de Riemann.

4.

Chloé Perin. Géométrie hyperbolique.

5.

Claude Sabbah. Théorie de Hodge.

Dependances des cours :

Semaine spéciale. Sujet : Algèbre et géométrie amassées.
Trois mini-cours (4 heures/cours) introduisant les algèbres et variétés amassées de points de vue algébrique, géométrique et groupe-théorique et 8 exposés sépares sur les applications dans les domaines des cours, en particulier groupes de Lie et réseaux, géométrie hyperbolique, surfaces de Riemann, systèmes intégrables etc, géométrie algébrique etc.

Responsables : Claire Amiot, Pierre Baumann, Vladimir Fock.

Les variétés amassées (cluster varieties) sont des variétés construites de façon récursive combinatoire a partir d’une matrice antisymétrisable. L’algèbre amassées (cluster algebras) sont des algèbres de fonctions régulières là-dessus. Parmi ces variétés se trouvent les variétés grassmanniennes variétés de drapeaux, variétés de caractères et beaucoup d’autres variétés qui jouent un rôle important en géométrie et théorie des représentations. Il s’est avéré rapidement que les algèbres et variétés amassées intervenait également dans de nombreux autres sujets, par exemple dans

• la géométrie de Poisson ;
• les systèmes dynamiques intégrables ;
• les espaces de Teichm¨uller supérieurs ;
• la K-théorie de Milnor ;
• la théorie des immeubles ;
• la combinatoire et en particulier l’étude de polyèdres tels les associaèdres de Stasheff ;
• la géométrie algébrique (commutative ou non commutative) et en particulier l’étude des conditions de stabilité de Bridgeland, les algèbres Calabi-Yau, les invariants de Donaldson-Thomas ;
• la théorie des représentations des carquois et des algèbres de dimension finie, voir par exemple les articles de synthèse.

Termine: Die erste Vorlesungsperiode ist Ende September bis Mitte Dezember, die zweite Januar bis April. Eine genauere Terminplanung wird es erst im September geben. Die Stundenpläne sind flexibel. In der Regel kann auf die Bedürfnisse der Freiburger eingegangen werden. Einzelheiten sind durch Kontaktaufnahme vor Veranstaltungsbeginn zu erfragen.

Fahrtkosten können im Rahmen von EUCOR bezuschusst werden. Am schnellsten geht es mit dem Auto, eine gute Stunde. Für weitere Informationen und organisatorische Hilfen stehe ich gerne zur Verfügung.

oder die jeweils auf den Webseiten genannten Kursverantwortlichen.

Inhalt:
Dies ist Teil 1 der im Bachelor- und Lehramtsstudiengang vorgesehenen zweisemestrigen Vorlesung zur Stochastik. Ziel der Vorlesung ist es, Grundideen der Stochastik auf elementarem Niveau darzustellen und an einfachen Beispielen und Problemen zu erproben. Mit dem Begriff elementar soll ausgedrückt werden, dass keine spezifisch maßtheoretischen Kenntnisse erforderlich sind. Vorausgesetzt werden die Grundvorlesungen über Analysis und Linearer Algebra. Inhaltlich befaßt sich die Vorlesung mit wahrscheinlichkeitstheoretischen und im weiteren Verlauf auch mit statistischen Themen.

Der zweite Teil der Veranstaltung schließt sich im SS 2013 an. Dann finden parallel zur Vorlesung praktische Übungen statt.

Literatur:

1.)

K. L. Chung: Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse. Springer-Verlag, 1978.

2.)

H. Dinges, H. Rost: Prinzipien der Stochastik. Teubner, 1982.

3.)

E. Eberlein: Einführung in die Stochastik. Skript zur Vorlesung

4.)

W. Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications I. John Wiley, 1968 (third edition).

5.)

H.-O. Georgii: Stochastik. De Gruyter, 2007 (3. Auflage)

6.)

K. Krickeberg, H. Ziezold: Stochastische Methoden. Springer-Verlag, 1995 (4. Auflage).

Inhalt:
Die Numerik ist eine Teildisziplin der Mathematik, die sich mit der praktischen Lösung mathematischer Aufgaben beschäftigt. Dabei werden Probleme in der Regel nicht exakt sondern approximativ gelöst. Typische Beispiele sind die Bestimmung von Nullstellen einer Funktion oder die Lösung linearer Gleichungssysteme. In der Vorlesung werden einige grundlegende numerische Algorithmen vorgestellt und im Hinblick auf Rechenaufwand sowie Genauigkeit untersucht. Die Vorlesung ist der erste Teil eines zweisemestrigen Kurses. Der Besuch der begleitenden praktischen Übungen wird empfohlen. Diese finden 14-täglich im Wechsel mit der Übung zur Vorlesung statt.

Literatur:

1.)

R. Plato: Numerische Mathematik kompakt. Vieweg, 2006.

2.)

R. Schaback, H. Wendland: Numerische Mathematik. Springer, 2004.

3.)

J. Stoer, R. Burlisch: Numerische Mathematik I, II. Springer, 2007, 2005.

Inhalt:
Das mehrdimensionale Riemann-Integral ist eine direkte Verallgemeinerung des Riemann-Integrals aus der Analysis-Vorlesung. Es erlaubt, stetige Funktionen über geeignete „einfache“ kompakte Gebiete im ℝⁿ zu integrieren. Wir beweisen in diesem Kontext den Satz von Fubini und die Transformationsformel. Außerdem führen wir Oberflächenintegrale ein. Wenn die Zeit reicht, lernen wir elementare Formen der Integralsätze von Stokes und Gauß kennen.

Literatur wird in der Vorlesung angegeben.___________________________________________________________

Inhalt:
Diese Vorlesung setzt die Lineare Algebra fort. Behandelt werden Gruppen, Ringe, Körper sowie Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie. Höhepunkte der Vorlesung sind die Klassifikation endlicher Körper, die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal, die Nicht-Existenz von Lösungsformeln für allgemeine Gleichungen fünften Grades und das quadratische Reziprozitätsgesetz.

Literatur:

1.)

Michael Artin: Algebra

Inhalt:
Gegenstand der Vorlesung ist die Maß– und Integrationstheorie nach Lebesgue. Es wird ein abstrakter Aufbau der Maßtheorie vorgestellt, der in etwa dem Buch von Elstrodt folgt. Die Definition und Berechnung von Volumen und Integral im ℝⁿ werden dabei ebenfalls ausführlich behandelt. Insbesondere werden Oberflächenintegrale eingeführt und der Integralsatz von Gauß bewiesen. Wenn die Zeit reicht, soll auch die Fouriertransformation diskutiert werden.

Der Stoff der Vorlesung ist für eine Vertiefung in den Gebieten Analysis, Angewandte Mathematik, Stochastik und Geometrie relevant. Auch für Studierende der Physik kann der Inhalt von Interesse sein.

Literatur:

1.)

J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage, Springer 1999

2.)

H. Amann & J. Escher: Analysis III, Birkhäuser 2001

3.)

E. Kuwert: Analysis III, Skript

Inhalt:
Partielle Differentialgleichungen sind Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen einer Funktion u, deren partiellen Ableitungen und weiteren gegebenen Funktionen beinhalten, z. B.

Literatur:

1.)

D. Braess, Finite Elemente, Springer, Berlin (2007).

2.)

G. Dziuk, Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, De Gruyter (2010).

Inhalt:
Modulformen sind komplex-analytische Funktionen auf der oberen komplexen Halbebene, welche eine bestimmte Funktionalgleichung und eine Wachstumsbedingung im Unendlichen erfüllen. Letztere garantiert, daß Modulformen eine Art Fourierreihen-Entwicklung besitzen. Die Theorie der Modulformen gehört also in den Bereich der komplexen Analysis, aber ihre zentrale Bedeutung liegt in ihrem Zusammenhang zur Zahlentheorie und zur Geometrie. Daher resultieren auch die meisten ihrer Anwendungen.

Oft können Zählprobleme dadurch gelöst werden, indem man eine erzeugende Funktion aufstellt und deren Eigenschaften untersucht. In günstigen Situationen ist diese Funktion eine Modulform. Ihre Fourier-Koeffizienten sind dann die Lösung des Zählproblems. Daher rührt auch die Hauptanwendung von Modulformen in der Physik. Die Anzahl der Zustände eines quantenmechanischen Systems mit vorgegebenen Quantenzahlen wird durch die sogenannte Zustandssumme beschrieben, welche in günstigen Fällen eine Modulform ist.

Die wohl faszinierendste Anwendung der Theorie der Modulformen ist der Beweis von Fermats letztem Satz, der besagt, daß aⁿ + bⁿ = cⁿ für n > 2 keine ganzzahlige Lösung außer a = b = 0 besitzt. Zugrunde liegt die Tatsache, daß die komplexe Kurve y² = x(x - aⁿ)(x - bⁿ) sehr viele Symmetrien besitzt und durch Modulformen eindeutig beschrieben werden kann. Solche Kurven heißen elliptische Kurven und sind das zentrale geometrische Objekt in der Theorie der Modulformen.

Das Ziel der Vorlesung ist es, eine elementare Einführung in die Konzepte der Modulformen und elliptischen Kurven zu geben mit Schwergewicht auf expliziten Rechnungen, während abstrakte Konzepte der Zahlentheorie weniger berücksichtigt werden.

Die Vorlesung wird wahrscheinlich mit einem Seminar fortgesetzt.

Literatur:

1.)

Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Springer, 2nd edition, 1993

2.)

Don Zagier, Elliptic Modular Forms and Their Applications, in The 1-2-3 of Modular Forms, Springer, 2008

3.)

Fred Diamond, Jerry Shurman, A First Course in Modular Forms, Springer, 2005

4.)

Martin Eichler, Don Zagier, The Theory of Jacobi Forms, Birkhäuser, 1985

Inhalt:
 
Die Wahrscheinlichkeitheorie beschreibt mathematisch zufällige Vorgänge. Legt man die Axiomatisierung von Kolmogorov zugrunde, so ist sie eine mathematische Theorie, deren Formulierung mit Hilfe der Maßtheorie geschieht. Die Vorlesung gibt eine systematische Einführung in diese Theorie. Sie ist grundlegend für alle weiterführenden Lehrveranstaltungen aus dem Bereich der Stochastik.

Vor allem werden die klassischen Grenzwertsätze behandelt, wie Kolmogorovs 0-1 Gesetz, das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz. Neben bedingten Erwartungen sollen auch Martingale behandelt werden.

Literatur:

1.)

Georgii, H.-O.: Stochastik, Walter de Gruyter, 2007

2.)

Klenke, A.: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, 2006

3.)

Shiryaev, A.: Probability, 2. Auflage, Springer 1996

4.)

Williams, D.: Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991

Inhalt:
Die Vorlesung “Algebraische Gruppen” baut auf der Vorlesung “Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie” auf. Zunächst soll die allgemeine Theorie vorgestellt werden, wie sie etwa in den Büchern von Springer, Humphreys und Borel dargestellt wird, insbesondere die Klassifikation der reduktiven algebraischen Gruppen. Anschließend will ich auf Fragen der Darstellungstheorie dieser Gruppen eingehen.

Literatur:

1.)

T. A. Springer, Algebraic Groups

2.)

J. Humphreys, Algebraic Groups

3.)

A. Borel, Algebraic Groups

Inhalt:
Die algebraische Topologie untersucht topologische Räume und stetige Abbildungen mit algebraischen Hilfsmitteln. Sie wird in vielen Bereichen der Mathematik von der Differentialgeometrie über die komplexe und algebraische Geometrie bis hin zur Gruppentheorie verwendet.

In der algebraischen Topologie werden Räumen Gruppen zugeordnet und den Abbildungen werden Homomorphismen zugeordnet. So entsteht ein algebraisches Abbild des topologischen Sachverhalts, welches oft leichter zu verstehen ist und zur Lösung des ursprünglichen topologischen Problems beitragen kann. Ein Beispiel hierfür haben Sie schon in der Vorlesung Topologie kennengelernt: die Fundamentalgruppe.

Im ersten Teil der Vorlesung werden wir ein weiteres Beispiel kennenlernen: die singuläre Homologie eines Raumes. Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir ihr Dual, die singuläre Kohomologie, einführen und studieren. Diese ist eng mit der singulären Homologie verwandt, besitzt aber interessante zusätzliche Strukturen wie das Cup-Produkt.

Themen der Vorlesung werden sein: Simpliziale und singuläre Homologie,, Berechnungen und Anwendungen der Homologie, Eilenberg-Steenrod-Axiome für Homologietheorien, Kohomologie und das Cup-Produkt, Mannigfaltigkeiten und Poincaré-Dualität, Beziehung zwischen Homotopie und Homologie.

Literatur:

1.)

A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge Univeristy Press, 2002;
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

2.)

R. Stöcker, H. Zieschang: Algebraische Topologie: Eine Einführung, Teubner, Stuttgart (1988)

Inhalt:
Zunächst werden die grundlegenden Begriffe und Methoden der Differentialgeometrie vorgestellt, die auch für Teile der Analysis und der theoretischen Physik wichtig sind: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Tensorfelder. Darauf aufbauend wird eine Einführung in das größte Teilgebiet der Differentialgeometrie, die Riemannsche Geometrie, gegeben. Insbesondere werden Geodätische und der Riemannsche Krümmungstensor eingeführt und die geometrische Bedeutung des Riemannschen Krümmungstensors erklärt.

Literatur:

1.)

J. M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer (GTM 218), 2003

2.)

M. P. do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992

3.)

J. M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer (GTM 176), 1997

Inhalt:
Diese Mengenlehrevorlesung wird der Kombinatorik auf der Basis von ZFC gewidmet sein. Die Vorlesung setzt keine früheren Mengenlehrevorlesungen von Herrn Dr. Motto Ros oder mir voraus.

Wir werden hauptsächlich Kardinalzahlenarithmetik studieren. Dazu gehören Schlüsse auf der Basis von ZFC über die Kardinalzahlexponentation. Seit den 1980er Jahren entwickelt Shelah hierzu ein nützliches technisches Hilfmittel, die Untersuchung der möglichen Konfinalitäten geeigneter Ultraprodukte. Das Gebiet ist auch unter dem Namen “pcf theory” bekannt, der von possible cofinalities kommt. Das bekannteste Ergebnis lautet: Wenn 2^ℵ₀ < ℵ _ω, so ℵ_ω^ℵ₀ < ℵ _ω4. Über die Schärfe der Obergrenze in der Konklusion ist immer noch wenig bekannt, es könnte sogar ℵ_ω1 sein.

Literatur:

1.)

Abraham, U. und Magidor, M., Cardinal arithmetic. Handbook of Set Theory. Vols. 1, 2, 3, 1149–1227, Springer 2010.

2.)

Burke, M. und Magidor, M., Shelah’s pcf theory and its applications. Ann. Pure Appl. Logic 50 (1990), no. 3, 207–254.

3.)

Holz, M., Steffens K., Weitz, E., Introduction to Cardinal Arithmetic, Birkhäuser 1999.

4.)

Kojman, M., The A,B,C of pcf, http://www.cs.bgu.ac.il/~kojman/paperslist.html

5.)

Shelah, S., Cardinal Arithmetic, The Clarendon Press 1994.

Inhalt:
Die Modelltheorie untersucht den Zusammenhang zwischen formalen Eigenschaften einer Theorie T erster Stufe und den algebraischen Eigenschaften ihrer Modelle.

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper z.B. hat Quantorenelimination: jede Formel ist äquivalent zu einer quantorenfreien Formel. Diese für die algebraische Geometrie wichtige Eigenschaft lässt sich mit Hilfe des Quantoreneliminationkriteriums leicht der Modellklasse ansehen.

Eine Theorie heißt ℵ₀-kategorisch, wenn alle Modelle der Mächtigkeit ℵ₀ (d.h. die abzählbaren Modelle) isomorph sind. Hauptbeispiel: Die Theorie der dichten linearen Ordnungen. Wir werden den Satz von Ryll-Nardzewski beweisen: T ist genau dann ℵ₀-kategorisch, wenn es für jedes n bis auf T-Äquivalenz nur endlich viele Formeln in den Variablen x₁,…,x_n gibt.

Der viel tiefer liegende Satz von Baldwin-Lachlan charakterisiert die ℵ₁-kategorischen Theorien. Dabei wird eine Strukturtheorie entwickelt, die die Modelle solcher Theorien in ähnlicher Weise durch eine Dimension bestimmt, wie algebraisch abgeschlossene Körper (das Hauptbeispiel) durch ihren Transzendenzgrad bestimmt sind.

Die Europäische Kredittransfersystempunktzahl ist 9.

Literatur:

1.)

K. Tent, M. Ziegler Model Theory. 2012

2.)

M. Ziegler Modelltheorie I (Skript)
(http://sunpool.mathematik.uni-freiburg.de/home/ziegler/skripte/modell1.pdf)

3.)

D. Marker Model Theory

4.)

W. Hodges A shorter Model Theory

Inhalt:
In der Vorlesung werden numerische Verfahren zur approximativen Lösung zeitabhängiger und nichtlinearer partieller Differentialgleichungen untersucht. Insbesondere werden typische Beispiele nicht-konvexer Variationsprobleme, nicht-glatter Optimierungsprobleme, singular gestörter parabolischer Gleichungen und Probleme mit nicht-linearen Nebenbedingungen diskutiert. Die Verfahren basieren meist auf Finite-Elemente-Diskretisierungen im Ort und Differenzenquotienten zur Approximation von Zeitableitungen bei Gradientenflüssen. Im Rahmen der Übungen werden neben theoretischen Aufgaben einfache MATLAB-Programme für die Realisierung der Methoden modifiziert.

Literatur:

1.)

D. Braess: Finite Elemente. Springer, 2007.

2.)

S. Brenner, R. Scott: Finite Elements. Springer, 2008.

3.)

L. C. Evans: Partial Differential Equations. AMS, 2010.

4.)

H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, 2006.

5.)

M. Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis. Springer, 2005.

6.)

P. Knabner, L. Angermann: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic PDEs. Springer, 2000.

7.)

C. Grossmann, H.-G. Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Springer, 2005.

Inhalt:
Die Vorlesung ist die erste Veranstaltung im Studiengang Master of Science Mathematik, Studienschwerpunkt Wahrscheinlichkeitstheorie, Finanzmathematik und Statistik.

Themen der Vorlesung sind zunächst Martingale und Markovketten in diskreter Zeit. Danach werden Prozesse in stetiger Zeit eingeführt. Insbesondere werden die Brownsche Bewegung, Lévy- und Markov-Prozesse besprochen. Am Ende der Vorlesung werden der Satz von Donsker über Verteilungskonvergenz gegen die Brownsche Bewegung sowie deren Anwendungen behandelt.

Literatur:

1.)

A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer 2006

2.)

O. Kallenberg. Foundations of Modern Probability (Probability and Its Applications). Springer 2002

3.)

D. Williams. Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks). Cambridge University Press 1991

Inhalt:
 
The second revolution in mathematical finance following the Markowitz mean-variance theory of risk and return and the capital asset pricing model concerns the option pricing theory of Black, Scholes and Merton from 1973 and the risk-neutral valuation theory that grew from it. In this course we introduce financial models in discrete as well as in continuous time and explain the basic principles of risk-neutral valuation of derivatives. Besides futures and standard put and call options of European and American type a number of more sophisticated derivatives and exotic options are introduced as well. We also discuss interest-rate sensitive instruments such as swaps as well as credit derivatives such as credit default swaps.

The course, which is taught in English, is offered for students in their second year of the Integrated Master Program in the profile Finance but is also open to other master students in both economics and mathematics.

Literatur:

1.)

Chance, D. M., Brooks, R.: An Introduction to Derivatives and Risk Management, 8th ed., South-Western, 2009.

2.)

Hull, J. C.: Options, Futures, and other Derivatives, 7th ed., Prentice Hall, 2009.

3.)

Bielecki, T. R.; Rutkowski, M., Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging, Springer, 2002.

4.)

Strong, R. A.: Derivatives. An Introduction, 2nd ed., South-Western, 2004.

Inhalt:
The topic of this course is the mean curvature flow for smooth embedded hypersurfaces in the (n + 1)-dimensional Euclidean space. We will discuss the case of compact convex surfaces: short time existence of solutions, maximum and comparison principle, preservation of convexity, regularity and convergence to a round point. Particular attention will be given also to selfsimilar and translating solutions to the mean curvature flow and to its 1-dimensional version, the curve shortening flow.

The course addresses to Master and PhD students with basic knowledge of differential geometry.

Literatur:

1.)

G. Huisken, Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres, J. Diff. Geom. 20 (1984) 237–266.

2.)

K. Ecker, Regularity theory for mean curvature flow, Progress in nonlinear differential equations and their applications, 75, Birkhäuser, Boston, 2004.

Inhalt:
The topic of this course is an introduction of discontinuous Galerkin finite element method for solving steady and time-dependent elliptic or parabolic type problems. The objective of this course is to present the students the basic theoretical tools and implementation details (programming) on the computer of the method in case of using interior penalty terms. Concerning the theoretical part, we will discuss stability, error estimates e.t.c. and for the implementation part we will insist on simulating convection dominated problems.

The course will be taught in English, is offered for Master-Diploma students of Applied Mathematics Department which have some basic knowledge in C/C++ programming would be useful but not necessary. Master students from other similar graduate programs are welcome.

Literatur:

1.)

B. Riviere: Discontinuous Galerkin Methods for Solving Elliptic and Parabolic Equations, SIAM, Huston-Texas 2008

2.)

D. A. Di Pietro and A. Ern: Mathematical Aspects of Discontinuous Galerkin Methods, Springer, 2010

Inhalt:
Nichtstandard-Analysis ist eine mathematische Methode, welche auf der Hinzufügung eines zusätzlichen Prädikates zur mathematischen Sprache beruht. Dies erlaubt es infinitesimale wie auch unbeschränkte Größen exakt zu definieren. Hieraus ergeben sich neue oftmals wesentlich intuitivere Beweise bekannter Resultate, wie auch die Möglichkeit auf relativ elementarem Wege neue mathematische Resultate zu beweisen.

Auf diese Weise lassen sich unter anderem folgende Themen behandeln:

∙ Rechnen mit infinitesimalen Größen, Differentiale und Integrale
∙ Fundamentalsatz der Algebra
∙ Brouwerscher Fixpunktsatz
∙ Unendliche Kombinatorik
∙ Darstellung Boolscher Algebren
∙ Charakterisierungen topologischer Räume
∙ Invariante Mittel auf ℤ
∙ Darstellung von Distributionen und Approximationssätze
∙ Operatortheorie
∙ Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
∙ Modelle der Brownschen Bewegung und stochastische Differentialgleichungen
∙ Grenzwertsätze der Stochastik

Die Vorlesung behandelt nach einer Einführung in die Grundlagen der Nichtstandard Analysis Themen aus obigen Bereichen.

Literatur:

1.)

Robert Goldblatt: Lectures on the Hyperreals, Lecture Notes in Mathematics, Volume 188 (1998)

2.)

Alain Robert: Nonstandard Analysis, John Wiley (1988)

3.)

Nonstandard Analysis in Practice (Universitext), Herausgeber: Francine Diener und Marc Diener, Springer Berlin Heidelberg (2010)

Inhalt:
Die Vorlesungen über Didaktik bestehen aus zwei Teilen: Didaktik der Algebra und Analysis (WS) und Didaktik der Geometrie und Stochastik (SS).

Eine scharfe Abgrenzung der Einzelthemen ist im schulischen Kontext wenig hilfreich. So wird z.B. die Projektion auf den ersten Blick der Geometrie zugeordnet, andererseits entsteht durch die Projektion einer Drehbewegung die Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Im Sinne einer ganzheitlichen und vernetzenden Didaktik werden in der Vorlesung viele Bezüge zwischen den einzelnen innermathematischen Disziplinen geschaffen.

Erörtert werden didaktische Methoden der Algebra und der Analysis, die didaktische Bedeutung des Materials im schulischen Kontext sowie die Bedeutung von kooperativem Lernen (Gruppenarbeit). An konkreten Beispielen wird ein konstruktivistischer Vermittlungsansatz im Kontext der bildungsplanspezifischen Inhalte (lernen, begründen, problemlösen und kommunizieren) aufgezeigt.

Die Vorlesung legt Wert darauf, dass die dargestellte Didaktik konkret und interaktiv erlebt wird. Die Folge ist ein ständiger Rollenwechsel des Hörers: Einerseits erlebt er die Dinge aus der Schülerperspektive, auf der anderen Seite schlüpft er in die Rolle des reflektierenden Lehrers.

Literatur:

1.)

Büchter, A., Henn, H.-W.: Elementare Analysis – Von der Anschauung zur Theorie; Spektrum-Verlag

2.)

Danckwerts, R., Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten; Spektrum-Verlag

3.)

Kramer, M.: Mathematik als Abenteuer; Aulis Verlag

4.)

Padberg, F.: Didaktik der Arithmetik, BI Wissenschaftsverlag

5.)

Spektrum der Wissenschaft (Zeitschrift): Mathematische Unterhaltungen I–III; Spektrum-Verlag

6.)

Spitzer, Manfred: Geist im Netz – Modelle für Lernen, Denken und Handeln; Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

7.)

Vollrath, H.-J.: Algebra in der Sekundarstufe; Spektrum-Verlag

Inhalt:
Theatrale Methoden helfen den Handlungsspielraum des Lehrers entscheidend zu vergrößern. So werden Schüler zu Punkten in Schaubildern oder erfahren Symmetrie und Projektion in einer handlungs- und erlebnisorientierten Didaktik. Nicht zuletzt wird die pädagogische Dimension der Mathematik aufgezeigt.

Das Seminar besteht aus drei Teilen:

1.

Theaterpädagogische Grundlagen (Körper und Raum, Rollen, Status, Chorusarbeit, …)

2.

Exemplarische Anwendung theatraler Elemente auf konkrete Inhalte im Mathematikunterricht der SEK I und SEK II

3.

Jeder Teilnehmer entwickelt zu einem selbst gewählten Thema eine theatrale Herangehensweise oder Übung, welche interaktiv mit den anderen Teilnehmern nachempfunden wird. Dabei müssen die mathematischen Themen nicht zwingend aus dem schulischen Kontext stammen. Entscheidend sind vielmehr die Herangehensweise und die mathematische Richtigkeit der interaktiven Übung.

Literatur:

1.)

BAUER, Joachim: Warum ich fühle, was du fühlst; Heyne Verlag, München 2006

2.)

GRELL, Jochen: Techniken des Lehrerverhaltens; Beltz Verlag, Weinheim und Basel, 8. Auflage 1978

3.)

KLIPPERT, Heinz: Kommunikationstraining; Beltz Verlag, Weinheim und Basel, 7. Auflage 2000

4.)

KRAMER, Martin: Schule ist Theater, Schneider-Hohengehren, Esslingen am Neckar, 2008

5.)

SCHULZ VON THUN, Friedemann: Miteinander reden Bd. 3; Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, Sonderausgabe März 2005

6.)

SPITZER, Manfred: Lernen – Gehirnforschung und die Schule des Lebens; Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009

7.)

WELLHÖFER, Peter R.: Gruppendynamik und soziales Lernen; Lucius & Lucius, Stuttgart, 2001, zweite Auflage

Inhalt:
Der Einsatz von Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht gewinnt sowohl auf der Ebene der Unterrichtsplanung, wie auch der der Unterrichtsrealisierung an Bedeutung. Vor dem Hintergrund konstruktivistischer Lerntheorien zeigt sich, dass der reflektierte Einsatz unter anderem von Computerprogrammen die mathematische Begriffsbildung nachhaltig unterstützen kann. So erlaubt beispielsweise das Experimentieren mit Computerprogrammen mathematische Strukturen zu entdecken, ohne dass dies von einzelnen Routineoperationen (wie z.B. Termumformung) überdeckt würde. Es ergeben sich daraus tiefgreifende Konsequenzen für den Mathematikunterricht. Von daher setzt sich dieses Seminar zum Ziel, den Studierenden die notwendigen Entscheidungs- und Handlungskompetenzen zu vermitteln, um zukünftige Mathematiklehrer auf ihre berufliche Tätigkeit vorzubereiten. Ausgehend von ersten Überlegung zur Unterrichtsplanung werden anschließend Computer und Handheld hinsichtlich ihres jeweiligen didaktischen Potentials untersucht. Die dabei exemplarisch vorgestellten Systeme sind:

• dynamische Geometrie Software: Geogebra
• Tabellenkalkulation: Excel
• Handheld: GTR (Ti83), CAS (TI-Nspire, Mathematics)
• Software (elektronisches Schulbuch) und Lernprograme aus dem Internet

Jeder Studierende soll eine Unterrichtssequenz ausarbeiten, die gegebenenfalls während einer Unterrichtsstunde erprobt wird.____________________________________________________________________________

Inhalt:
Geogebra ist eine dynamische Geometriesoftware, die die Möglichkeiten von Computer- algebrasystemen und Dynamischer Geometriesoftware verbindet. Sie wird immer stärker auch im Unterricht eingesetzt.

In diesem Seminar sollen konkrete, unterrichtsrelevante Beispiele aus allen Jahrgangsstufen fachwissenschaftlich und fachdidaktisch aufgearbeitet werden. An ihnen werden Kenntnisse über den Einsatz von Geogebra vermittelt. Dabei wird auch stets der sinnvolle Einsatz von Geogebra thematisiert. Die Erstellung eigener Arbeitsblätter wird angestrebt.

Mögliche Themen sind z. B. der Einsatz von Geogebra im Geometrieunterricht, bei der Behandlung von Extremwert- und Optimierungsaufgaben, bei der Einführung von Ableitung und Integral und im Stochastikunterricht.____________________________________________________________________

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Numerik-Vorlesung sollen die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dies wird in der Programmiersprache C sowie mit Hilfe der kommerziellen Software MATLAB zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

R. Plato: Numerische Mathematik kompakt. Vieweg, 2006.

2.)

R. Schaback, H. Wendland: Numerische Mathematik. Springer, 2004.

3.)

J. Stoer, R. Burlisch: Numerische Mathematik I, II. Springer, 2007, 2005.

Inhalt:
In den praktischen Übungen sollen die in der Vorlesung „Einführung in die Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen“  vorgestellten numerischen Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen implementiert werden. Ziel ist die Erstellung eines effizienten, selbstadaptiven Programmpakets zur Berechnung von Näherungslösungen elliptischer Differentialgleichungen mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode. Programmierkenntnisse in C werden vorausgesetzt und im Rahmen der praktischen Übungen weiter ausgebaut. Zusätzlich findet eine Einführung in die in der Arbeitsgruppe verwendeten Programmpakete statt. Studierenden, die vorhaben, in der Angewandten Mathematik eine Zulassungs-, Master- oder Diplomarbeit zu schreiben, wird die Teilnahme an den praktischen Übungen empfohlen.

Literatur:

1.)

D. Braess, Finite Elemente, Springer, Berlin (2007).

2.)

H. R. Schwarz, Methode der Finiten Elemente, Teubner, Stuttgart (1991).

3.)

G. Dziuk, Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, De Gruyter (2010).

Inhalt:

Die Softwarebibliothek DUNE (Distributed and Unified Numerics Environment) ist eine modulare Toolbox zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie wird seit mehreren Jahren unter Mitwirkung von Mitgliedern der Abteilung für Angewandte Mathematik entwickelt.

Der einwöchige Kompaktkurs gibt eine grundlegende Einführung in die DUNE-Schnittstellen und das Diskretisierungsmodul DUNE-FEM. Ziel ist die Implementierung von Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung von Systemen partieller Differentialgleichungen von elliptischem, parabolischem oder hyperbolischem Typ.

Studierenden, die vorhaben, eine praktische Zulassungs-, Master- oder Diplomarbeit am Lehrstuhl von Professor Kröner zu schreiben, wird die Teilnahme an dem Kurs empfohlen. Programmierkenntnisse in C++, wie sie etwa in den praktischen Übungen zur Vorlesung „Einführung in die Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen“ vermittelt werden, werden vorausgesetzt._________________________________________________________________________________________