Aufteilung in Angewandte und Reine Mathematik

Unter den für das Wintersemester 2013/14 angebotenen Wahlvorlesungen zählen zu

Reine Mathematik:

Angewandte Mathematik:

Arbeitsgebiete für Abschlussarbeiten

Die folgende Liste soll einen Überblick geben, aus welchen Gebieten die Professorinnen und Professoren des Mathematischen Instituts zur Zeit Themen für Examensarbeiten vergeben. Die Angaben sind allerdings sehr global; für genauere Informationen werden persönliche Gespräche empfohlen.

Prof. Dr. V. Bangert: Differentialgeometrie und dynamische Systeme

Prof. Dr. S. Bartels: Angewandte Mathematik, Partielle Differentialgleichungen und Numerik

Prof. Dr. S. Goette: Differentialgeometrie, Topologie und globale Analysis

Prof. Dr. A. Huber-Klawitter: Algebraische Geometrie und Zahlentheorie

Prof. Dr. S. Kebekus: Algebra, Funktionentheorie, Komplexe und Algebraische Geometrie

Prof. Dr. D. Kröner: Angewandte Mathematik, Partielle Differentialgleichungen und Numerik

Prof. Dr. E. Kuwert: Partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung

Prof. Dr. H. R. Lerche: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. H. Mildenberger: Mathematische Logik, darin insbesondere: Mengenlehre und unendliche Kombinatorik

Prof. Dr. P. Pfaffelhuber: Stochastik, Biomathematik

Prof. Dr. L. Rüschendorf: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik und Finanzmathematik

Prof. Dr. M. Růžička: Angewandte Mathematik und Partielle Differentialgleichungen

Prof. Dr. M. Schumacher: Medizinische Biometrie und Angewandte Statistik

Prof. Dr. W. Soergel: Algebra und Darstellungstheorie

Prof. Dr. G. Wang: Partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung

Prof. Dr. K. Wendland: Funktionentheorie, Komplexe Geometrie und Analysis, Mathematische Physik

Prof. Dr. M. Ziegler: Mathematische Logik, Modelltheorie

Nähere Beschreibungen der Arbeitsgebiete finden Sie auf der Internet-Seite

http://www.math.uni-freiburg.de/personen/dozenten.html

Informationen zum Vorlesungsangebot in
Straßburg im akademischen Jahr 2013/2014

 
In Straßburg gibt es ein großes Institut für Mathematik. Es ist untergliedert in eine Reihe von Équipes, siehe:

Seminare und Arbeitsgruppen (groupes de travail) werden dort angekündigt.

Grundsätzlich stehen alle dortigen Veranstaltungen im Rahmen von EUCOR allen Freiburger Studierenden offen. Credit Points können angerechnet werden. Insbesondere eine Beteiligung an den Angeboten des M2 (zweites Jahr Master, also fünftes Studienjahr) ist hochwillkommen. Je nach Vorkenntnissen sind sie für Studierende ab dem 3. Studienjahr geeignet.

Premier trimestre.

1.

Surfaces de Riemann et courbes algèbriques (Riemannsche Fl¨achen und algebraische Kurven), Gianluca Pacienza.

2.

Algèbre commutative et géométrie algébrique (Kommutative Algebra und algebraische Geometrie), Rutger Noot.

3.

Géométrie hyperbolique et théorie des groupes (Hyperbolische Geometrie und Gruppentheorie), Thomas Delzant et Olivier Guichard

4.

Equations différentielles et théorie ergodique (Differentialgleichunge und Ergodentheorie), Daniel Panazzolo et Nicolas Chevallier

Deuxième trimestre.

1.

Introduction aux D-modules (Einf¨uhrung in die Theorie der D-Moduln), Adriano Marmora et Christine Noot-Huyghe

2.

Systèmes dynamiques (Dynamische Systeme), Emmanuel Opshtein et Ana Rechtman

3.

Systèmes intégrables (Integrable Systeme), Martin Bordeman

Termine: Die erste Vorlesungsperiode ist Ende September bis Mitte Dezember, die zweite Januar bis April. Eine genauere Terminplanung wird es erst im September geben. Die Stundenpläne sind flexibel. In der Regel kann auf die Bedürfnisse der Freiburger eingegangen werden. Einzelheiten sind durch Kontaktaufnahme vor Veranstaltungsbeginn zu erfragen.

Raum: Salle C32 des Gebäudes von Mathematik und Informatik

Fahrtkosten können im Rahmen von EUCOR bezuschusst werden. Am schnellsten geht es mit dem Auto, eine gute Stunde. Für weitere Informationen und organisatorische Hilfen stehe ich gerne zur Verfügung.

oder die jeweils auf den Webseiten genannten Kursverantwortlichen.

Inhalt:
 
Dies ist eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik ohne Maßtheorie. In dieser Veranstaltung werden die Denk- und Schlussweisen, die für die mathematische Behandlung von Zufallserscheinungen typisch sind, entwickelt. Begriffe wie Zufallsvariable, Verteilung einer Zufallsvariablen, Erwartungswert und Varianz werden für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume diskutiert. Grundlegende Resultate wie Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz werden bewiesen.
Vieles wird an Hand von Beispielen und kleinen Rechenproblemen erklärt. Die Vorgehensweise ist am Anfang meist kombinatorischer Natur. Im weiteren Verlauf kommen dann analytische Überlegungen hinzu.

Die Vorlesung ist zweisemestrig und richtet sich an Bachelor- und Lehramtsstudenten.

Der zweite Teil der Veranstaltung schließt sich im SS 2014 an. Dann findet parallel zur Vorlesung eine praktische Übung statt.

Literatur:

1.)

Dümbgen, L.: Stochastik für Informatiker, Springer 2003

2.)

Georgi, H.-O.: Stochastik, Walter de Gruyter 2009

3.)

Kersting, G.; Wakolbinger, A.: Elementare Stochastik, Birkhäuser 2008

4.)

Krengel, U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg 2005

Inhalt:
Die Numerik ist eine Teildisziplin der Mathematik, die sich mit der praktischen Lösung mathematischer Aufgaben beschäftigt. Dabei werden Probleme in der Regel nicht exakt sondern approximativ gelöst. Typische Beispiele sind die Bestimmung von Nullstellen einer Funktion oder die Lösung linearer Gleichungssysteme. In der Vorlesung werden einige grundlegende numerische Algorithmen vorgestellt und im Hinblick auf Rechenaufwand sowie Genauigkeit untersucht. Die Vorlesung ist der erste Teil eines zweisemestrigen Kurses. Der Besuch der begleitenden praktischen Übungen wird empfohlen. Diese finden 14-täglich im Wechsel mit der Übung zur Vorlesung statt.

Literatur:

1.)

R. Plato: Numerische Mathematik kompakt. Vieweg, 2006

2.)

R. Schaback, H. Wendland: Numerische Mathematik. Springer, 2004.

3.)

J. Stoer, R. Burlisch: Numerische Mathematik I, II. Springer, 2007, 2005.

4.)

G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische Mathematik. Springer, 1990.

5.)

P. Deuflhard, A. Hohmann, F. Bornemann: Numerische Mathematik I, II. DeGruyter, 2003.

Inhalt:
Das mehrdimensionale Riemann-Integral ist eine direkte Verallgemeinerung des Riemann-Integrals aus der Analysis-Vorlesung. Es erlaubt, stetige Funktionen über geeignete „einfache“ kompakte Gebiete im ℝⁿ zu integrieren. Wir beweisen in diesem Kontext den Satz von Fubini und die Transformationsformel, mit deren Hilfe sich diese Integrale oft auf mehrere eindimensionale Integrale zurückführen lassen Außerdem führen wir Oberflächenintegrale ein. Wenn die Zeit reicht, lernen wir elementare Formen der Integralsätze von Stokes und Gauß kennen.

Literatur:

1.)

W. Walter, Analysis 2, 5. erw. Aufl., Springer, Berlin, 2002

Inhalt:
In der linearen Algebra ging es um das Lösen von linearen Gleichungssystemen. Gegenstand der Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ ist das Lösen von Polynomgleichungen in einer Variablen. Aus der Schule bekannt ist der Fall quadratischer Gleichungen und deren Lösungsformel. Eines unserer Hauptresultate wird es sein, dass sich diese Lösungsformel nicht verallgemeinern lässt. Verwandt ist die Frage nach der Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal.

Unser wesentiches Hilfsmittel ist die Theorie der algebraischen Körpererweiterungen mit dem Hauptsatz der Galoistheorie als Höhepunkt. Auf dem Weg werden wir auch andere algebraische Strukturen wie Gruppen und Ringe studieren.

Von besonderem Interesse ist der Fall von Gleichungen über den rationalen oder gar ganzen Zahlen. Dies ist Gegenstand der Zahlentheorie.

Literatur:

1.)

S. Bosch, Algebra

2.)

S. Lang, Algebra

3.)

F. Lorenz, Algebra 1

4.)

E. Artin, Galois theory

5.)

van der Waerden, Algebra 1

Inhalt:
Die Vorlesung Analysis III setzt die beiden Anfänger-Vorlesungen Analysis I und II fort. Zentrales Thema ist das Lebesgue-Integral, das das bereits eingeführte Riemann-Integral erweitert und allgemeinere Konvergenzaussagen zulässt. Nach der Einführung in die allgemeine Integrationstheorie werden Integralsätze hergeleitet, etwa der Transformationssatz, der Gauss’sche Integralsatz und der Satz von Stokes.

Literatur:

1.)

K. Königsberger: Analysis II

2.)

Barner, Flohr: Analysis 2

3.)

Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie

Inhalt:
Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesung Stochastik. Nach einer kurzen Wiederholung von maßtheoretischen Grundlagen werden schwerpunktmäßig Themen wie das Gesetz der großen Zahlen, der zentrale Grenzwertsatz und bedingte Erwartungen behandelt. Vorkenntnisse aus der Vorlesung Analysis III sind hilfreich, jedoch nicht unbedingt notwendig.

Die Vorlesung ist obligatorisch für Studierende, die in Stochastik eine Arbeit schreiben oder einen Prüfungsschwerpunkt wählen wollen.

Literatur:

1.)

Kallenberg, O.: Foundations of Modern Probability, Springer, 2002

2.)

Klenke, A.: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, 2006

3.)

Williams, D.: Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991

Inhalt:
Die Differentialgeometrie beschreibt und untersucht die geometrischen Eigenschaften gekrümmter Räume mit Methoden der Differentialrechnung. Daher findet die Differentialgeometrie Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik und in der Physik, etwa in der theoretischen Mechanik und der Relativitätstheorie.

In der Vorlesung werden zunächst die grundlegenden Begriffe und Methoden der Differentialgeometrie eingeführt (wie differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Vektorbündel und Tensorfelder). Darauf aufbauend wird eine Einführung in die Riemannsche Geometrie gegeben, die ein Teilgebiet der Differentialgeometrie ist. Hier werden insbesondere Geodätische und der Riemannsche Krümmungstensor im Mittelpunkt stehen. Dort, wo es wenig Mehraufwand bedeutet, werden auch die etwas allgemeineren Strukturen der semi-Riemannschen Geometrie eingeführt, da diese grundlegend in der Relativitätstheorie benötigt werden. Sofern die Zeit es erlaubt, werden im letzten Teil der Vorlesung Aspekte der speziellen Relativitätstheorie vorgestellt.

Literatur:

1.)

Barrett O’Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, 1983

2.)

J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer (GTM 218), 2003

3.)

M.P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992

4.)

jedes andere Buch zur Differentialgeometrie

Inhalt:

Eine Vielzahl unterschiedlicher Probleme aus Naturwissenschaft und Geometrie führt auf partielle Differentialgleichungen. Mithin kann keine Rede von einer allumfassenden Theorie sein. Dennoch gibt es für lineare Gleichungen ein klares Bild, das sich an den drei Prototypen orientiert: der Potentialgleichung -Δu = f, der Wärmeleitungsgleichung ∂_tu - Δu = f und der Wellengleichung ∂_t²u - Δu = f, die wir in der Vorlesung untersuchen werden.

Literatur:

1.)

Di Benedetto, Emmanuele: Partial differential equations, Basel: Birkäuser (1995)

2.)

Evans, Lawrence C.: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics. 19, Providence, RI: American Mathematical Society (AMS) (1998)

3.)

Q. Han, A basic course in partial differential equations. Graduate Studies in Mathematics, 120. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. x+293 pp. ISBN: 978-0-8218-5255-2

4.)

John, F.: Partial Differential Equations (4. Auflage), Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 1982

5.)

Jost, Jürgen: Partielle Differentialgleichungen, Springer (1998)

Inhalt:
Die Vorlesung beschäftigt sich mit der numerischen Approximation von Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Behandlung des Poisson-Problems mit der Methode der Finiten Elemente. Diese Differentialgleichung beschreibt stationäre Wärmeverteilungen und Diffusionsprozesse und ist wesentlicher Bestandteil vieler mathematischer Beschreibungen realer Vorgänge. Die numerische Lösung basiert auf einer Variationsformulierung und einer Zerlegung des physikalischen Gebiets in Dreiecke oder Tetraeder. Damit wird ein kontinuierliches, unendlich-dimensionales Problem durch ein endlich-dimensionales lineares Gleichungssystem approximiert, welches effizient am Rechner gelöst werden kann. Die Exaktheit der Approximation in Abhängigkeit der analytischen Eigenschaften der kontinuierlichen Lösung und die iterative Lösung des linearen Gleichungssystems sind Schwerpunkte der Vorlesung. In der begleitenden praktischen Übung werden die theoretischen Ergebnisse experimentell verifiziert. Der parallele Besuch der Vorlesung „Partielle Differentialgleichungen“ von Professor Wang wird empfohlen.

Literatur:

1.)

D. Braess: Finite Elemente. Springer, 2007.

2.)

S. Brenner, R. Scott: Finite Elements. Springer, 2008.

3.)

L. C. Evans: Partial Differential Equations. AMS, 2010.

4.)

H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, 2006.

5.)

M. Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis. Springer, 2005.

6.)

P. Knabner, L. Angermann: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic PDEs. Springer, 2000.

7.)

C. Grossmann, H.-G. Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Springer, 2005.

Inhalt:
Die axiomatische Mengenlehre bildet zusammen mit der mathematischen Logik die Grundlage der Mathematik. In der Vorlesung wird zuerst dieser Aspekt der Mengenlehre erklärt, vor allem die mengentheoretische Konstruktion der natürlichen Zahlen. Dann werden Methoden besprochen, die in vielen Teilen der Mathematik wichtig sind: Ordinalzahlen, Kardinalzahlen und unendliche Kombinatorik. Die Mengenlehre muss nach dem Gödelschen Satz unvollständig sein. Viele mathematische Probleme lassen sich darum nur entscheiden, wenn man zusätzliche Axiome annimmt. Zum Beispiel die Kontinuumshypothese oder die Existenz gewisser großer Kardinalzahlen. Wenn die Mengenlehre, also das Axiomensystem ZFC, widerspruchsfrei ist, führt die Annahme der Kontinuumshypothese zu keinem Widerspruch. Große Kardinalzahlen allerdings erhöhen das Inkosistenzrisiko.

Literatur:

1.)

M. Ziegler, Vorlesung über Mengenlehre, Download über http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/skripte/mengenle.pdf

2.)

T. Jech, Set Theory, 2000

3.)

Halbeisen, Combinatorial Set Theory, 2013

Inhalt:
Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Geometrische Analysis, zu Beginn des Master-Studiengangs sowie für fortgeschrittene Studierende im Bachelor. Es werden analytische Techniken im Kontext von geometrischen Fragestellungen behandelt, etwa:

• L²-Regularitätstheorie für elliptische Systeme auf Mannigfaltigkeiten und Anwendung auf harmonische Differentialformen,
• C^2,α-Regularitätstheorie für parabolische Systeme auf Mannigfaltigkeiten und Anwendung auf die Kurzzeitexistenz für geometrische Evolutionsgleichungen, zum Beispiel den mittleren Krümmungsfluss,
• Einbettungssätze von Sobolev mit Anwendungen auf konform invariante Variationsprobleme.

Die benötigten Hilfsmittel aus der Riemannschen Geometrie werden mit entwickelt.

Literatur:

1.)

Aubin, T., Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge-Ampère Equations, Springer, 1982.

2.)

Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer, 2008.

Inhalt:
 
Die Vorlesung “Mathematische Statistik” baut auf Grundkenntnissen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Das grundlegende Problem der Statistik ist die begründete Anpassung eines statistischen Modells zur Beschreibung eines Experimentes. Hierzu wird in der Vorlesung in die wichtigsten Methoden aus der statistischen Entscheidungstheorie wie Test- und Schätzverfahren eingeführt. Weitere Themen sind Ordnungsprinzipien zur Reduktion der Komplexität der Modelle (Suffizienz und Invarianz) sowie einführende Betrachtungen zur asymptotischen Statistik.

Literatur:

1.)

Witting, H.: Mathematische Statistik, Teubner 1985

Inhalt:
Die Veranstaltung setzt die Vorlesung Funktionalanalysis fort. Die dort untersuchten linearen Probleme sind oft nur Näherungen, wenn auch oft recht gute, der wahren nichtlinearen Probleme. Diese Vorlesung beschäftigt sich mit Fragestellungen der nichtlinearen Funktionalanalysis, d.h. der Untersuchung nichtlinearer Abbildungen zwischen unendlich-dimensionalen Banachräumen. In der Vorlesung werden Fixpunktsätze, die Integration und Differentiation in Banachräumen, die Theorie monotoner Operatoren und der Abbildungsgrad behandelt. Dabei wird besonders auf die Wechselwirkungen zwischen abtrakter Theorie und konkreten Fragestellungen eingegangen.

Literatur:

1.)

E. Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, I–III, Springer

2.)

M. Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis, Springer

Inhalt:
Die Vorlesung ist die erste Veranstaltung im Studiengang Master of Science Mathematik, Studienschwerpunkt Wahrscheinlichkeitstheorie, Finanzmathematik und Statistik.

Themen der Vorlesung sind zunächst Martingale und das Zentrale Grenzwertsatzproblem.

Im Mittelpunkt steht dann der Wiener Prozess (Brownsche Bewegung), der bemerkenswerte Eigenschaften hat. So sind zwar all seine Pfade stetig, aber kein Pfad ist an irgendeiner Stelle differenzierbar. Für den Wiener Prozess lassen sich viele Größen berechnen, so zum Beispiel Überschreitungswahrscheinlichkeiten einer festen Schranke für ein endliches Zeitintervall. Er ist Ausgangspunkt für die Stochastische Integration, die in der darauffolgenden Vorlesung behandelt wird.

Literatur:

1.)

Karatzas, I., Shreve, S. E.: Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd. ed., Springer, 1991

2.)

Klenke, A.: Wahrscheinlichkeitstheorie, 2. Auflage, Springer, 2008

3.)

Williams, D.: Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, Cambridge University Press, 1991

Inhalt:
Schemata sind die Verallgemeinerung von Varietäten auf beliebige Grundringe. Masterstudierende oder Doktoranden mit Schwerpunkt in algebraischer oder gar arithmetischer Geometrie kommen um diese Theorie nicht herum. Klassischerweise erarbeiten sie es sich im Selbststudium. Die Veranstaltung will dieses Selbststudium unterstützen.

Wir werden uns hierbei auf das etablierte Buch von Hartshorne (Kapitel II und Teile von Kapitel III) stützen: Garben, Schemata, separierte und eigentliche Morphismen, projektive Morphismen, Differentiale, flache und glatte Morphismen, Geradenbündel und Divisoren, Garbenkohomologie.

In der Vorlesung werden jeweils die wichtigsten Aspekte eines Gegenstandes vorgestellt. Die Details müssen durch ein eigenständiges Literaturstudium erarbeitet werden. An einem Übungstermin (Lese- und Diskussionsrunde) erhalten die Teilnehmerinnen und Teilnehmer die Gelegenheit, den gelesenen Text zu diskutieren. Am zweiten Übungstermin unter Leitung von Herrn Dr. Wendt können offene Fragen beantwortet und Übungsaufgaben besprochen werden. Umfang und Arbeitsaufwand werden einer vierstündigen Vorlesung entsprechen.

Abhängig vom Teilnehmerkreis wird die Veranstaltung in englischer Sprache abgehalten werden.

Literatur:

1.)

R. Hartshorne, Algebraic Geometry

Inhalt:
Bei diesem Modul handelt es sich um eine Begleitveranstaltung zu Tutoraten zu Mathematikvorlesungen. Teilnehmen können an dem Modul alle Studierenden im BSc- oder MSc-Studiengang Mathematik, die sich für das gleiche Semester erfolgreich um eine Tutoratsstelle zu einer Mathematikvorlesung beworben haben (mindestens eine zweistündige oder zwei einstündige Übungsgruppen über das ganze Semester, aber ohne Einschränkungen an die Vorlesung). Das Modul kann einmal im Bachelor-Studium und bis zu zweimal im Master-Studium absolviert werden und wird jeweils mit 3 ECTS-Punkten im Wahlmodulbereich angerechnet. Es handelt sich um eine Studienleistung, d.h. das Modul wird nicht benotet.

Leistungsnachweis:

• Teilnahme an der Einführungsveanstaltung (Termin wird über die Veranstaltungsseite im LSF angekündigt; voraussichtlich in der ersten Vorlesungswoche)
• regelmäßige Teilnahme an der Tutorenbesprechung
• zwei gegenseitige Tutoratsbesuche mit einem anderen Modulteilnehmer, welcher nach Möglichkeit die gleiche Vorlesung tutoriert, oder zwei Besuche durch den betreuenden Assistenten und Austausch über die Erfahrungen (die Zuteilung der Paarungen erfolgt bei der Einführungsveranstaltung)
• Schreiben eines Erfahrungsberichts, der an den betreuenden Dozenten geht

In Ermangelung eines passenden Wahlbereichs kann das Modul für Lehramtsstudierende in dieser Form zur Zeit nicht angeboten werden.__________________________________________________________

Inhalt:
Die Vorlesungen über Didaktik bestehen aus zwei Teilen: Didaktik der Algebra und Analysis (WS) und Didaktik der Geometrie und Stochastik (SS).

Eine scharfe Abgrenzung der Einzelthemen ist im schulischen Kontext wenig hilfreich. So wird z.B. die Projektion auf den ersten Blick der Geometrie zugeordnet, andererseits entsteht durch die Projektion einer Drehbewegung die Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Im Sinne einer ganzheitlichen und vernetzenden Didaktik werden in der Vorlesung viele Bezüge zwischen den einzelnen, innermathematischen Disziplinen geschaffen.

Erörtert werden didaktische Methoden der Geometrie und Stochastik, die didaktische Bedeutung des Materials im schulischen Kontext sowie die Bedeutung von kooperativem Lernen (Gruppenarbeit). Zentral ist der Wechsel zwischen symbolischen, ikonischen und enaktiven Repräsentationsebenen (nach Bruner). An konkreten Beispielen wird ein konstruktivistischer Vermittlungsansatz im Kontext der bildungsplanspezifischen Inhalte (lernen, begründen, problemlösen und kommunizieren) aufgezeigt.

Die Vorlesung legt Wert darauf, dass die dargestellte Didaktik konkret und interaktiv erlebt wird. Die Folge ist ein ständiger Rollenwechsel des Hörers: Einerseits erlebt er die Dinge aus der Schülerperspektive, auf der anderen Seite schlüpft er in die Rolle des reflektierenden Lehrers.

Literatur:

1.)

Büchter, A., Henn, H.-W.: Elementare Analysis – Von der Anschauung zur Theorie; Spektrum-Verlag

2.)

Danckwerts, R., Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten; Spektrum-Verlag

3.)

Kramer, M.: Mathematik als Abenteuer; Aulis Verlag

4.)

Padberg, F.: Didaktik der Arithmetik, BI Wissenschaftsverlag

5.)

Spektrum der Wissenschaft (Zeitschrift): Mathematische Unterhaltungen I–III; Spektrum-Verlag

6.)

Spitzer, Manfred: Geist im Netz – Modelle für Lernen, Denken und Handeln; Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

7.)

Vollrath, H.-J.: Algebra in der Sekundarstufe; Spektrum-Verlag

Inhalt:
MINT steht für die Vernetzung von Mathematik, Informatik, Naturwissenschaft und Technik. Robotik repräsentiert dabei alle vier Buchstaben gleichzeitig und eignet sich so wunderbar für die Schule im Rahmen einer AG oder von Projekttagen. Ein aktuelles Thema.

Das Seminar besteht aus zwei Teilen. Zuerst wird aus Fischertechnik ein mobiler Roboter gebaut und mit immer feineren Methoden mit der kindgerechten Software RoboPro programmiert.

Der zweite Teil besteht in der Durchführung eines zweitägigen Workshops (Freitagnachmittag bis Sonntagmorgen), der im Seminar geplant und von je zwei Teilnehmern in den Semesterferien durchgeführt wird.

Es sind keinerlei Vorkenntnisse erforderlich.____________________________________________________________

Inhalt:
Der Einsatz von Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht gewinnt sowohl auf der Ebene der Unterrichtsplanung wie auch der der Unterrichtsrealisierung an Bedeutung. Vor dem Hintergrund konstruktivistischer Lerntheorien zeigt sich, dass der reflektierte Einsatz unter anderem von Computerprogrammen die mathematische Begriffsbildung nachhaltig unterstützen kann. So erlaubt beispielsweise das Experimentieren mit Computerprogrammen mathematische Strukturen zu entdecken, ohne dass dies von einzelnen Routineoperationen (wie z.B. Termumformung) überdeckt würde. Es ergeben sich daraus tiefgreifende Konsequenzen für den Mathematikunterricht. Von daher setzt sich dieses Seminar zum Ziel, den Studierenden die notwendigen Entscheidungs- und Handlungskompetenzen zu vermitteln, um zukünftige Mathematiklehrer auf ihre berufliche Tätigkeit vorzubereiten.

Ausgehend von ersten Überlegungen zur Unterrichtsplanung werden anschließend Computer und Handheld hinsichtlich ihres jeweiligen didaktischen Potentials untersucht. Die dabei exemplarisch vorgestellten Systeme sind:

• dynamische Geometrie Software: Geogebra
• Tabellenkalkulation: Excel,
• Handheld: GTR (Ti83), CAS (TI-Nspire, Mathematics)
• Software (elektronisches Schulbuch) und Lernprograme aus dem Internet.

Jeder Studierende soll eine Unterrichtssequenz ausarbeiten, die gegebenenfalls während einer Unterrichtsstunde erprobt wird.____________________________________________________________________________

Inhalt:
Geogebra ist eine dynamische Geometriesoftware, die die Möglichkeiten von Computer- algebrasystemen und Dynamischer Geometriesoftware verbindet. Sie wird immer stärker auch im Unterricht eingesetzt.

In diesem Seminar sollen konkrete, unterrichtsrelevante Beispiele aus allen Jahrgangsstufen fachwissenschaftlich und fachdidaktisch aufgearbeitet werden. An ihnen werden Kenntnisse über den Einsatz von Geogebra vermittelt. Dabei wird auch stets der sinnvolle Einsatz von Geogebra thematisiert. Die Erstellung eigener Arbeitsblätter wird angestrebt.

Mögliche Themen sind z. B. der Einsatz von Geogebra im Geometrieunterricht, bei der Behandlung von Extremwert- und Optimierungsaufgaben, bei der Einführung von Ableitung und Integral und im Stochastikunterricht.____________________________________________________________________

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Numerik-Vorlesung sollen die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dies wird in der Programmiersprache C sowie mit Hilfe der kommerziellen Software Matlab zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

R. Plato: Numerische Mathematik kompakt. Vieweg, 2006

2.)

R. Schaback, H. Wendland: Numerische Mathematik. Springer, 2004.

3.)

J. Stoer, R. Burlisch: Numerische Mathematik I, II. Springer, 2007, 2005.

4.)

G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische Mathematik. Springer, 1990.

5.)

P. Deuflhard, A. Hohmann, F. Bornemann: Numerische Mathematik I, II. DeGruyter, 2003.

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Vorlesung sollen die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dies wird in der Programmiersprache C sowie mit Hilfe der kommerziellen Software Matlab zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

D. Braess: Finite Elemente. Springer, 2007.

2.)

S. Brenner, R. Scott: Finite Elements. Springer, 2008.

3.)

P. Knabner, L. Angermann: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic PDEs. Springer, 2000.

4.)

C. Grossmann, H.-G. Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Springer, 2005.

Inhalt:
Eine Funktion f: ℝ → k (k = ℝ oder ℂ) heißt periodisch mit Periode T, wenn f(t + T) = f(t) für alle t ∈ ℝ. Die einfachsten Funktionen mit Periode 2π sind sin(nt) und cos(nt) mit n ∈ ℕ für k = ℝ und e^int mit n ∈ ℤ für k = ℂ. Andere periodische Funktionen mit Periode 2π lassen sich als Fourrierreihen darstellen, das heißt, als unendliche Summen von Vielfachen der obigen Funktionen.

Im ersten Teil des Proseminars wollen wir diese Aussage beweisen und verstehen, wie Eigenschaften periodischer Funktionen sich in Eigenschaften ihrer Fourierreihen wiederspiegeln.

Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit Anwendungen dieser Theorie. Beispielsweise betrachten wir das Abtasttheorem von Nyquist und Shannon. Außerdem schauen wir uns endlichdimensionale Varianten der Fouriertransformation an, die zum Beispiel in der Audio-Kompression eingesetzt werden. Bei Interesse gehen wir auch auf Anwendungen in der elektronischen Musik ein.

Literatur wird in der Vorbesprechung angegeben.___________________________________________________

Inhalt:
In der Linearen Algebra und in der Algebra lernt man viele Arten algebraischer Strukturen kennen: Gruppen, Ringe, Moduln, u.U. Halbgruppen, Monoide, Verbände, … Für alle diese Strukturen kann man nun Unter- und Faktorobjekte, Homomorphismen, Produkte usw. definieren, und man erhält oft ganz gleichlautende Sätze, beispielsweise die Homomorphie- und Isomorphiesätze für Vektorräume, Gruppen, Ringe, …

Die Universelle Algebra stellt einen Versuch dar, eine umfassende Theorie zu entwickeln: Es wird der Begriff einer algebraischen Struktur eingeführt, der alle diese Beispiele umfasst, und man entwickelt dann, so weit dies möglich ist, eine gemeinsame Strukturtheorie. Das Proseminar behandelt die Anfangsgründe der Universellen Algebra bis zum Satz von Birkhoff.

Zusätzlich zum bereits festgelegten Termin wird es einen weiteren Termin und/oder Blockseminartage, voraussichtlich auch in den ersten beiden Wochen nach Vorlesungsende, geben. Diese Termine werden noch in Absprache mit den Teilnehmern festgelegt.

Literatur:

1.)

S.N. Burris, H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra (bis Kapitel II, § 11)
http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html

Inhalt:
In diesem Proseminar sollen die Grundlagen der Fourierzerlegung einer reell- oder komplexwertigen Funktion erarbeitet werden. Neben der Theorie besprechen wir auch Anwendungen in verschiedenen Gebieten. Von den Teilnehmern wird neben der Bereitschaft einen 90-minütigen Vortrag zu halten eine aktive Mitarbeit am Proseminar erwartet.

Literatur:

1.)

Stein, Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press.

Inhalt:

Im täglichen Leben spielt Mathematik eine ähnlich wichtige Rolle wie andere Wissenschaften. Wir wollen einige Beispiele kennen lernen. Mögliche Themen sind aus der Datenverarbeitung, wie bei CD-Spielern, Handys oder beim Online-Banking, oder bei technischen Geräten wie etwa der Kernspin-Tomograph. Auch in den Gesellschaftswissenschaften spielt Mathematik eine Rolle, beispielsweise bei der Gerechtigkeit von Wahlverfahren.

In den Vorträgen soll es darum gehen, einzelne Anwendungen zunächst vorzustellen, das zugrundeliegende mathematische Problem herauszuarbeiten und dann seine Lösung zu präsentieren. Die angegebene Literatur dient dabei nur als erster Anhaltspunkt, weitere Quellen sollen die Teilnehmerinnen und Teilnehmer selbst finden. Eigene Themenvorschäge der Teilnehmerinnen und Teilnehmer sind willkommen, sofern sie in den Rahmen des Proseminars passen. In diesem Fall bitte ich, rechtzeitig vor der Vorbesprechung mit dem Dozenten Kontakt aufzunehmen.

Literatur:

1.)

Aigner, M., Behrends, E. (Hrsg.), Alles Mathematik – von Pythagoras zum CD-Player,
Vieweg, 2000.

Weitere Literatur wird bei der Vorbesprechung angegeben._________________________________________________

Inhalt:

Das Seminar wendet sich an Studierende im Masterstudiengang Mathematik mit Vorkenntnissen in Differentialgeometrie, wie sie in den Vorlesungen Differentialgeometrie I und II erworben werden können. Thema des Seminars ist die Untersuchung des geodätischen Flusses, wobei einerseits Variationsmethoden (Geodätische sind lokal Kürzeste) eingesetzt werden und andererseits der geodätische Fluss als spezielles hamiltonsches System betrachtet wird.

Literatur:

1.)

Gabriel P. Paternain: Geodesic Flows, Progress in Math. 180. Birkhäuser, Boston 1999

Inhalt:
Das Seminar richtet sich an Studierende, die die Vorlesung „Kommutative Algebra und algebraische Geometrie“ gehört haben. Ziel ist es, den Stoff der Vorlesung am Beispiel der algebraischen Kurven zu vertiefen. Algebraische Kurven gehören zu den ältesten Studienobjekten der Mathematik, sind im Laufe der Jahrhunderte intensiv untersucht worden, und bilden noch immer eine unentbehrliche Beispielquelle für die algebraische und arithmetische Geometrie. Das Seminarprogramm wird sich hauptsächlich an Kapitel IV des Buches von Hartshorne orientieren.

Literatur:

1.)

R. Hartshorne. Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 52. Springer-Verlag, 1977.

Inhalt:
Große Kardinalzahlen sind kombinatorische Objekte, deren Existenz aus ZFC nicht folgt, aber der Erfahrung nach widerspruchsfrei hinzugenommen werden können. Ein Beispiel ist eine Kardinalzahl κ, auf deren Potenzmenge es ein σ-additives {0, 1}-wertiges Maß μ gibt mit μ({α}) = 0 und μ(κ) = 1 (für Kenner: dies ist eine milde Abschwächung des Begriffes „messbare Kardinalzahl“). Man benutzt große Kardinalzahlen zur Lösung kombinatorischer Probleme. In vielen Fällen kann man zeigen, dass die angenommene Existenz der benutzten großen Kardinalzahl notwendig ist.

Bei Interesse können wir uns auch fortgeschritteneren Themen widmen, bei denen große Kardinalzahlen mit Forcingtechniken kombiniert werden.

Literatur:

1.)

Thomas Jech, Set Theory. The third millennium edition, revised and expanded, Springer 2003.

2.)

Akihiro Kanamori, The Higher Infinite. Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, 2nd edition, Springer, 2003.

3.)

Robert Solovay; William Reinhardt; Akihiro Kanamori, Strong axioms of infinity and elementary embeddings, Ann. Math. Logic 13 (1978), no. 1, 73 – 116.

Inhalt:
Anschaulich sind Minimalflächen die hauchfeinen Seifenhäute, die entstehen, wenn man eine irgendwie geformte Drahtschlinge in eine Seifenlauge taucht. Der Mathematiker Joseph-Louis de Lagrange fragte 1760: „Existiert in jeder beliebig komplizierten Randkurve eine Minimalfläche, also eine Fläche mit kleinstem Inhalt?“ Der Physiker Joseph Antoine Ferdinand Plateau vermutete Mitte des 19. Jahrhunderts aufgrund umfangreicher Experimente, dass es stets eine Minimalfläche für beliebige geschlossene Kurven gibt, die sich nicht selbst berühren oder überschneiden. Dieses Plateausche Problem wurde erst im vergangenen Jahrhundert gelöst. Ziel des Seminars ist es, seine Lösung vorzustellen. Dabei stellen sich Ergebnisse der Funktionentheorie als wichtige Hilfsmittel heraus.

Literatur:

1.)

Jost-Hinrich Eschenburg, Jürgen Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen, 2. Auflage, Springer 2007.

Inhalt:
 
Variationsrechnung ist eines der ältesten Teilgebiete der Analysis. In der Variationsrechnung geht es darum, Extremstellen von Funktionalen zu finden. Viele Fragestellungen aus der Geometrie (Geodätische, d.h. kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten; Minimalflächen), den partiellen Differentialgleichungen und der Physik (klassischen Mechanik, Optik und Feldtheorie) führen auf unendlichendimensionale Extremwertaufgaben. In dem Seminar werden die direkte Methode sowie die Minimax-Methode untersucht.

Literatur:

1.)

Struwe, Variational methods. Third edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, A Series of Modern Surveys in Mathematics, 34, Springer-Verlag, Berlin, 2000

Inhalt:
 
Das Seminar ist für den Masterstudiengang vorgesehen. Es behandelt ein Thema zur Finanzmathematik oder zu Grenzwertsätzen über zufällige Graphen (je nach Teilnehmersituation).