Lehrveranstaltungen

Inhalt:
Die Vorlesung behandelt die Maß- und Integrationstheorie nach H. Lebesgue. Sie ist damit von Bedeutung für viele weiterführende Vorlesungen aus Analysis, Angewandter Mathematik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Geometrie, sowie aus der Physik. Schwerpunktthemen sind abstrakte Maße und Integrale, Konvergenzsätze, Integration im ℝⁿ, Transformationssatz, Integrale von Differentialformen sowie Integralsatz von Gauss.

Literatur:

1.)

Evans, L.C., Gariepy, R.F., Measure theory and fine properties of functions, CRC Press 1992.

2.)

Fleming, W.H., Functions of several variables, Springer 1977.

3.)

Amann, H., Escher, J., Analysis III, Birkhäuser 2001.

Inhalt:
Diese Vorlesung setzt die Lineare Algebra fort. Behandelt werden Gruppen, Ringe, Körper sowie Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie. Höhepunkte der Vorlesung sind die Klassifikation endlicher Körper, die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal, die Nicht-Existenz von Lösungsformeln für allgemeine Gleichungen fünften Grades und das quadratische Reziprozitätsgesetz.

Literatur:

1.)

Michael Artin : Algebra

2.)

Soergel-Skript

Inhalt:
Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es, zufallsabhängige Vorgänge mathematisch zu beschreiben. Die Vorlesung ist eine systematische Einführung dieses Gebietes auf maßtheoretischer Grundlage.

Ziel der Vorlesung ist es, Methoden der stochastischen Modellbildung und Analyse zu entwickeln und einige der klassischen Grenzwertsätze herzuleiten. Vorkenntnisse aus der Vorlesung Analysis III sind hilfreich, jedoch nicht Voraussetzung.

Literatur:

1.)

Klenke, A. : Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer 2008

2.)

Kallenberg, O. : Foundations of Modern Probability, Springer 2002

3.)

Williams, D. : Probability with Martingales, Cambridge University Textbooks, 1991

4.)

Hesse, Ch. : Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, Vieweg, Januar 2003

Inhalt:
Thema der Vorlesung wird die Geometrie von algebraischen Kurven und Flächen sein ; die genaue Themenauswahl richtet sich nach den Vorkenntnissen und Interessen der Teilnehmer. Die Vorlesung richtet sich an fortgeschrittene Studenten, unter anderem an jene, die an einer Abschlussarbeit in algebraischer Geometrie interessiert sind.

Die Teilnehmer sollten mindestens über Kenntnisse der Vorlesungsinhalte der „Kommutativen Algebra“ verfügen.

Literatur:

1.)

R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer Verlag

2.)

I. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1 : Varieties in projective space, second edition, translated from the Russian 1988 edition with notes by Miles Reid, Springer Verlag, 1994

3.)

D. Mumford, The red book of varieties and schemes, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag, 1988

4.)

A. Beauville, Complex algebraic surfaces, translated from the 1978 French original by R. Barlow, Cambridge University Press, 1996

Inhalt:
Die Differentialgeometrie untersucht geometrische Eigenschaften gekrümmter Räume mit Methoden der Differentialrechnung. Sie hat Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik und in der Physik, etwa in der theoretischen Mechanik und der Relativitätstheorie.

In der Vorlesung wird eine Einführung in die (Semi-)Riemannsche Geometrie gegeben. Hier werden insbesondere Geodätische und der Riemannsche Krümmungstensor im Mittelpunkt stehen. Weiterhin werden grundlegende Begriffe, wie z.B. Differentialformen und Vektorbündel, eingeführt, die auch in anderen Teilgebieten der Differentialgeometrie eine große Rolle spielen.

Literatur:

1.)

Barrett O’Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, 1983

2.)

J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer (GTM 218), 2003

3.)

M.P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992

Inhalt:
 
Im zweiten Teil der Vorlesung wird die Riemannsche Geometrie, die im ersten Teil eingeführt wurde, intensiver untersucht. Hauptthemen werden sein :
1) Vergleichssätze : Man betrachtet Riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren Krümmungstensor durch Ungleichungen eingeschränkt ist (z. B. positive oder negative Schnittkrümmung) und stellt die Frage, ob deren Topologie gleich oder deren Geometrie ähnlich wie die von Standardbeispielen (z.B. von Räumen konstanter Krümmung) ist.
2) Homogene und symmetrische Räume : Hierbei handelt es sich um Riemannsche Mannigfaltigkeiten, die – im Gegensatz zu “allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten” – eine große (kontinuierliche) Isometriegruppe besitzen, und deren Eigenschaften und Invarianten deshalb direkter Berechnung zugänglich sind.
Im Anschluss an die Vorlesung können Themen für Masterarbeiten vergeben werden.

Literatur:

1.)

J.M. Lee : Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer (GTM 176), 1997.

2.)

M.P. Do Carmo : Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992.

3.)

J. Cheeger, D. Ebin : Comparison Theorems in Riemannian Geometry. North-Holland, Amsterdam 1975.

4.)

P. Petersen : Riemannian Geometry. Springer (GTM 171), 1997.

Inhalt:
Die Vorlesung beschäftigt sich mit der numerischen Approximation von Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Behandlung des Poisson-Problems mit der Methode der Finiten Elemente. Diese Differentialgleichung beschreibt stationäre Wärmeverteilungen und Diffusionsprozesse und ist wesentlicher Bestandteil vieler mathematischer Beschreibungen realer Vorgänge. Die numerische Lösung basiert auf einer Variationsformulierung und einer Zerlegung des physikalischen Gebiets in Dreiecke oder Tetraeder. Damit wird ein kontinuierliches, unendlich-dimensionales Problem durch ein endlich-dimensionales lineares Gleichungssystem approximiert, welches effizient am Rechner gelöst werden kann. Die Exaktheit der Approximation in Abhängigkeit der analytischen Eigenschaften der kontinuierlichen Lösung und die iterative Lösung des linearen Gleichungssystems sind Schwerpunkte der Vorlesung. Im begleitenden praktischen Übung werden die theoretischen Ergebnisse experimentell verifiziert.

Die Vorlesung ist so konzipiert, dass auch Lehramtsstudenten, die die Vorlesung Mehrfachintegrale gehört haben, daran teilnehmen können.

Literatur:

1.)

S. Bartels : Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2016.

2.)

D. Braess : Finite Elemente. Springer, 2007.

3.)

S. Brenner, R. Scott : Finite Elements. Springer, 2008.

4.)

M. Dobrowolski : Angewandte Funktionalanalysis. Springer, 2005.

5.)

L. C. Evans : Partial Differential Equations. AMS, 2010.

Inhalt:
Heute verstehen wir Riemannsche Flächen einfach als komplex eindimensionale Mannigfaltigkeiten. Eingeführt wurden sie von Weyl als natürliche Definitionsbereiche der analytischen Fortsetzung von holomorphen Funktionen. Sie stehen im Schnittpunkt von vielen verschiedenen Gebieten wie Funktionentheorie, Riemannscher oder symplektischer Geometrie, algebraischer Geometrie, Zahlentheorie und mathematischer Physik.

In der Vorlesung werden wir zunächst die Definition und grundlegende Eigenschaften klären. Dann konzentrieren wir uns auf den Fall von kompakten Riemannschen Flächen. Unser Hauptziel ist der Satz von Riemann-Roch, der es erlaubt, meromorphe Funktionen zu kontrollieren. Soweit es die Zeit erlaubt, soll es dann noch um elliptische Kurven und Modulformen gehen.

Literatur:

1.)

O. Forster, Riemannsche Flächen, Heidelberger Taschenbücher, Springer Verlag 1977

2.)

Gunning, R. C. Lectures on Riemann surfaces. Princeton Mathematical Notes Princeton University Press, Princeton, N.J. 1966

3.)

A. F. Beardon, A primer on Riemann surfaces. London Mathematical Society Lecture Note Series, 78. Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

4.)

Hermann Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche. Reprint of the 1913 German original. With essays by Reinhold Remmert, Michael Schneider, Stefan Hildebrandt, Klaus Hulek and Samuel Patterson. Edited and with a preface and a biography of Weyl by Remmert. Teubner 1997

Inhalt:
Diese Veranstaltung besteht aus zwei Teilen. In der ersten Hälfte (Scheuer) behandeln wir die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Hier werden folgende Themen behandelt :

1.

Elementare Lösungsmethoden : Trennung der Variablen und Variation der Konstanten.

2.

Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Anfangswertprobleme : Satz von Picard-Lindelöf, Lemma von Gronwall, differenzierbare Abhängigkeit von Daten.

3.

Lineare Systeme : Fundamentalsystem, Evolutionsoperator.

4.

Wir werden versuchen, stets auch Anwendungsbeispiele aus den Naturwissenschaften zu untersuchen.

Im zweiten Teil (Kuwert) geht es um eindimensionale Variationsrechnung, das heißt um Funktionale (Energien)

Literatur:

1.)

Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer 7. Aufl., 2000.

2.)

Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen,Vieweg und Teubner 6. Aufl., 2009.

3.)

Butazzo, Giaquinta und Hildebrandt, One-dimensional variational problems, Oxford University Press, 1998.

Inhalt:
Trägt eine Gruppe die Struktur einer Lie-Gruppe, d.h. einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit differenzierbarer Verknüpfung und Inversenbildung, dann erbt jeder Tangentialraum die Struktur einer sogenannten Lie-Algebra. Während Gruppen traditionell Symmetrien beschreiben, liefern Lie-Algebren infinitesimale Symmetrien. Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren spielen dadurch eine wichtige Rolle in Geometrie und Physik.

In klassischen Vorlesungen über Lie-Algebren geht es hauptsächlich um kompakte Lie-Gruppen und deren endlich dimensionale Lie-Algebren. Für uns werden hingegen unendlich dimensionale Lie-Algebren im Mittelpunkt stehen, die nicht unbedingt als Tangentialräume von Lie-Gruppen entstehen, die aber dennoch infinitesimale Symmetrien beschreiben. Solche Lie-Algebren spielen u.a. eine wesentliche Rolle in der konformen Feldtheorie.

Die Vorlesung soll eine Einführung in die wichtigsten Techniken im Umgang mit solchen Lie-Algebren sowie einen Ausblick auf die konforme Feldtheorie geben. Themen sind zentrale Erweiterungen von Lie-Algebren, Darstellungstheorie, insbesondere Charaktere und deren Eigenschaften. Als zentrales Beispiel wird die Virasoroalgebra mit ihren unitären Darstellungen dienen. Letztere sind wesentlich für eine mathematische Definition konformer Feldtheorien, deren wichtigste Bausteine wir am Beispiel der Torustheorien vom geometrischen Standpunkt her einführen werden. Die Grundlagen der konformen Feldtheorie in der Physik werden in der Vorlesung in Exkursen angesprochen. Vorkenntnisse aus der Physik sind dafür nützlich, aber nicht erforderlich.

Literatur:

1.)

R. Carter, G. Segal, I. MacDonald, Lectures on Lie groups and Lie algebras, London Mathematical Society, 1997

2.)

V.G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, 1990

3.)

V.G. Kac & A.K. Raina, Bombay lectures on Highest weight representations of infinite dimensional Lie algebras, World Scientific, 1987

Inhalt:
Ein inneres Modell ist eine transitive echte Klasse, die ZFC erfüllt. Das kleinste innere Modell wurde 1938 von Kurt Gödel konstruiert und ist unter den Namen L oder “das Universum der konstruktiblen Mengen” bekannt. Mithilfe von L bewies Gödel : Wenn ZF konsistent ist, so auch ZFC und die allgemeine Kontinuumshypothese.

Ab Ende der 1960er Jahre entwickelte Ronald Jensen die Feinstrukturtheorie für L und geeignete dickere innere Modelle. Der Jensen’sche Überdeckungssatz sagt : Wenn o^♯ (eine noch recht schwache große Kardinalzahl) nicht existiert, so gibt es zu jeder Menge X ∈ V eine Menge Y ⊇ X, Y ∈ L und |Y |≤|X| + ℵ₁. Diese Nähe von L und V entscheidet zahlreiche kombinatorische Probleme, z.B. das Limesverhalten der kardinalen Exponentiation.

In der Vorlesung studieren wir die allerersten Anfänge der Feinstrukturtheorie.

Literatur:

1.)

Keith Devlin. Constructibility. Springer, 1984.

2.)

Thomas Jech. Set Theory. The Third Millenium Edition, revised and expanded. Springer, 2003.

3.)

Ralf Schindler. Set Theory. Exploring Independence and Truth. Springer, 2014.

4.)

Martin Zeman. Inner models and large cardinals, volume 5 of de Gruyter Series in Logic and its Applications. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2002.

Inhalt:
Rekursionstheorie ist die Theorie der berechenbaren Funktionen. Sie gehört neben Beweistheorie, Mengenlehre und Modelltheorie zu den wichtigsten Teilgebieten der Mathematischen Logik.

Die Vorlesung richtet sich im Aufbau nach meinem (veraltetem) Skript. Neben der unten angegeben Literatur empfehle ich die Kapitel über Rekursiontheorie in Shoenfield Mathematical Logic und Ziegler Mathematische Logik.

Literatur:

1.)

Rekursionstheorie,
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/skripte/rekursio.pdf

2.)

Shoenfield Recursion theory

3.)

Cooper Computability Theory

4.)

Enderton Computability Theory

5.)

Rogers Theory of recursive functions and effective Computability

Inhalt:
Die Veranstaltung setzt die Vorlesung Funktionalanalysis fort. Die dort untersuchten linearen Probleme sind oft nur Näherungen, wenn auch oft recht gute, der wahren nichtlinearen Probleme. Diese Vorlesung beschäftigt sich mit Fragestellungen der nichtlinearen Funktionalanalysis, d.h. der Untersuchung nichtlinearer Abbildungen zwischen unendlich-dimensionalen Banachräumen. In der Vorlesung werden Fixpunktsätze, die Integration und Differentiation in Banachräumen, die Theorie monotoner Operatoren und der Abbildungsgrad behandelt. Dabei wird besonders auf die Wechselwirkungen zwischen abstrakter Theorie und konkreten Fragestellungen eingegangen.

Literatur:

1.)

E. Zeidler : Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I–III, Springer

2.)

M. Růžička : Nichtlineare Funktionalanalysis, Springer

Inhalt:
 
Wir betrachten die Theorie parabolischer Differentialgleichungen. Insbesondere betrachten wir

• Vergleichsprinzipe und Harnack-Ungleichungen
• Schauder Abschätzungen
• Grundlagen der Viskositätslösungstheorie
• Existenz, Eindeutigkeit sowie Regularität für voll-nichtlineare parabolische Gleichungen

Literatur:

1.)

L. Caffarelli and X. Cabrè : Fully nonlinear elliptic equations, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 43

2.)

E. DiBenedetto : Degenerate parabolic equations. Springer Science & Business Media, 2012.

3.)

L. C. Evans : Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (1998).

4.)

C. Imbert, L. Silvestre : Introduction to fully nonlinear parabolic equations, in : An introduction to the Kähler-Ricci flow. Springer International Publishing, 2013. 7–88.

5.)

L. Wang : On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations, I + II, Communications on pure and applied mathematics 45.1 (1992).

Inhalt:
Die Vorlesung ist die erste Veranstaltung im Studiengang Master of Science Mathematik, Studienschwerpunkt Wahrscheinlichkeitstheorie, Finanzmathematik und Statistik, insbesondere in der neuen Profillinie Finanzmathematik. Sie schließt direkt an die Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie aus dem WS 2015/16 an.

Ein stochastischer Prozess (X_t)_t≥0 ist eine Familie von Zufallsvariablen. Einfache Beispiele sind Irrfahrten, Markov-Ketten, die Brown’sche Bewegung oder davon abgeleitete Prozesse. Vor allem in der Modellierung von finanzmathematischen oder naturwissenschaftlichen Fragestellungen spielt die Brown’sche Bewegung eine große Rolle.

Wir werden uns zunächst mit der reichhaltigen Klasse von Martingalen beschäftigen und die wichtigen Martingalkonvergenzsätze kennen lernen. Anschließend konstruieren wir die Brown’sche Bewegung und studieren ihre Pfadeigenschaften. Infinitesimale Charakteristiken eines Markov-Prozesses werden durch Generatoren beschrieben, was eine Verbindung zur Theorie von partiellen Differentialgleichungen ermöglicht.

Im Sommersemester 2017 wird diese Veranstaltung durch die Vorlesung Stochastische Integration und Finanzmathematik fortgeführt.

Literatur:

1.)

O. Kallenberg. Foundations of Modern Probability (Probability and Its Applications). Springer 2002

2.)

A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer 2006

3.)

D. Williams. Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks). Cambridge University Press 1991

Inhalt:
Viele Phänomene in der Natur lassen sich durch mathematische Modelle, insbesondere durch partielle Differentialgleichungen, beschreiben. Die wichtigsten unter diesen sind die elliptischen, die parabolischen und die hyperbolischen Differentialgleichungen. Gesucht werden jeweils Funktionen mehrerer Veränderlicher, deren Ableitungen gewisse Gleichungen erfüllen.

Eine besondere Klasse von partiellen Differentialgleichungen bilden die hyperbolischen Erhaltungssätze. Trotz beliebig glatter Daten (damit sind Randwerte, Anfangswerte und die Koeffizienten gemeint), können die zugehörigen Lösungen unstetig sein. Daher ist ihre Behandlung eine besondere Herausforderung an die Analysis und die Numerik.

Diese Differentialgleichungen sind mathematische Modelle für Strömungen kompressibler Gase und für verschiedene Probleme aus den Bereichen Astrophysik, Grundwasserströmungen, Meteorologie, Halbleitertechnik und reaktive Strömungen. Beispielsweise ist das mathematische Modell für eine Supernova von derselben Struktur wie das für die Verbrennung in einem Fahrzeugmotor. Kenntnisse in diesen Bereichen werden aber nicht vorausgesetzt. Es ist das Ziel der Vorlesung, die Grundlagen zu schaffen, um Simulationen der oben genannten Probleme am Computer durchzuführen und auch die theoretischen Grundlagen zu erarbeiten.

Parallel zur Vorlesung werden 2-stündige Übungen angeboten. Programmieraufgaben werden hiervon getrennt in einer speziellen praktischen Übung zur Vorlesung bearbeitet (Praktische Übung zu : Theorie und Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen).

Die Vorlesung richtet sich an Studierende, die neben der Anfängervorlesung Kenntnisse in numerischer Analysis besitzen. Die Vorlesungen über elliptische und parabolische Differentialgleichungen werden nicht vorausgesetzt. Der Vorlesung schließt sich ein Seminar im SS 2017 an. Zu dem Thema der Vorlesung werden Bachelor- und Masterarbeiten vergeben und der Stoff der Vorlesung kann auch für die Staatsexamensprüfung im Bereich Angewandter Mathematik vorgeschlagen werden.

Literatur:

1.)

D. Kröner : Numerical schemes for conservation laws, Wiley und Teubner, Chichester, Stuttgart, 1997.

2.)

R. J. LeVeque : Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992.

3.)

M. Feistauer, J. Felcman, I. Straskraba, Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow (Buch).

Inhalt:
The course’s aim is to give an introduction into numerical methods for the solution of optimization problems in science and engineering. The focus is on continuous nonlinear optimization in finite dimensions, covering both convex and nonconvex problems. The course is accompanied by intensive computer exercises and divided into four major parts :

1.

Fundamental Concepts of Optimization : Definitions, Types, Convexity, Duality

2.

Unconstrained Optimization and Newton Type Algorithms : Stability of Solutions, Gradient and Conjugate Gradient, Exact Newton, Quasi-Newton, BFGS and Limited Memory BFGS, and Gauss-Newton, Line Search and Trust Region Methods, Algorithmic Differentiation

3.

Equality Constrained Optimization Algorithms : Newton Lagrange and Generalized Gauss-Newton, Range and Null Space Methods, Quasi-Newton and Adjoint Based Inexact Newton Methods

4.

Inequality Constrained Optimization Algorithms : Karush-Kuhn-Tucker Conditions, Linear and Quadratic Programming, Active Set Methods, Interior Point Methods, Sequential Quadratic and Convex Programming, Quadratic and Nonlinear Parametric Optimization

In WS 2016/17, the course is given as an online course, based on the videos, exercises and manuscript of the course from WS 2015/16, that can be found at http://www.syscop.de/teaching/ws2015/numopt. During the semester, students will meet the exercise tutor in four individual meetings, in which they discuss their solutions to the exericises and can ask questions on the lecture and exercises.

The kick-off meeting is on October 25, 2016, from 10 :00 to 12 :00 in Georges-Koehler-Allee 102, 1st floor (Professur für Systemtheorie, Regelungstechnik und Optimierung).

Literatur:

1.)

Moritz Diehl, Lecture Notes on Numerical Optimization, 2015

2.)

Jorge Nocedal and Stephen J. Wright, Numerical Optimization, Springer, 2006

3.)

Amir Beck, Introduction to Nonlinear Optimization, MOS-SIAM Optimization, 2014

4.)

Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge Univ. Press, 2004

Inhalt:
Bei dieser Veranstaltung handelt es sich um den ersten Teil der vierstündigen Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen und Variationsrechnung”. Sie können entweder nur diesen ersten Teil abschließen, oder dann zusätzlich den von Prof. Kuwert gehaltenen zweiten Teil über Variationsrechnung besuchen. Beide Teile zusammen bilden dann eine vierstündige Vorlesung zu 9 ECTS.

Detaillierte Informationen zu Inhalt und Literatur entnehmen Sie bitte der Beschreibung der Veranstaltung “Gewöhnliche Differentialgleichungen und Variationsrechnung”.______________

Inhalt:

In dieser Vorlesung betrachten wir die Nash-Moser-Iterationsmethode, welche eine Verallgemeinerung der Newtoniteration auf bestimmte Fréchet-Räume darstellt. In dieser Methode wird die schnelle Konvergenz des Newtonverfahrens verwendet, um einen Satz von der inversen Funktion in unendlichdimensionalen Räumen zu beweisen. Der Satz hat unter anderem Anwendungen im Gebiet der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, wenn also die zu invertierende Funktion ein Differentialoperator ist.

Literatur:

1.)

K. Deimling : Nonlinear Functional Analysis. Springer, 1985.

2.)

R.S. Hamilton : The inverse function theorem of Nash and Moser. Bulletin of the AMS, 7(1), 1982

Inhalt:
The aim of this course is the application of the R programming environment to various topics of financial mathematics, among others are the calculation and visualization of interest rates, option prices, loss distributions and risk measures. Participants are expected to have some basic knowledge in using R as students of B.Sc. Mathematics usually acquire in the practical exercises of stochastics.

With help of the provided tools, we then develop some programs for bootstrapping zero rates, pricing vanilla options in binomial trees and exotic options in time-continuous models via Monte Carlo methods. We also regard some aspects of hedging and convergence in this context. Further we discuss the implementation of risk measures, the sampling of loss distributions in elementary credit risk models. Depending on the time left, we may additionally discuss the simulation of (approximate) solutions to stochastic differential equations.

The course, which is taught in English, is offered for the second year in the Finance profile of the M.Sc. Economics program as well as for students of M.Sc. (possibly also B.Sc.) Mathematics (can be credited as “Wahlmodul” in both M.Sc. and B.Sc. Mathematics, and in particular for students of the profile “Finanzmathematik” in M.Sc. Mathematics as specialization in economics).

Literatur:

1.)

Hull, J.C. : Options, Futures, and other Derivatives, 7th ed., Prentice Hall, 2009

2.)

Lai, T.L., Xing, H. : Statistical Models and Methods for Financial Markets, Springer, 2008

3.)

Seydel, R.U. : Tools for Computational Finance, 4th ed., Springer, 2009

4.)

Any introductory book to the R programming environment, e.g.,
Brown, J., Murdoch, D.J. : A First Course in Statistical Programming with R, Cambridge University Press, 2007

Inhalt:
Die Vorlesung ist eine Einführung in semilineare partielle stochastische Differentialgleichungen (SPDEs) und numerische Approximationsmethoden. Als Anwendung studieren wir Modelle für Zinskurven und Limit Order Bücher.

Literatur:

1.)

G. Da Prato and J. Zabczyk. Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Vol. 152. Cambridge University Press, 2014.

2.)

C. Prévot and M. Röckner. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. Springer Verlag, 2007.

Inhalt:
Mit dem Begriff Statistisches Lernen werden verschiedene statistische Methoden bezeichnet, die dabei helfen, komplexe Datensätze zu modellieren und zu verstehen. Diese Methoden lernen aus den vorhandenen Daten und ziehen Schlussfolgerungen für die Modellierung der Grundgesamtheit. Statistische Lernverfahren werden oft auch den Begriffen Data-Mining oder Machinelles Lernen zugeordnet. Statistisches Lernen findet heute in sehr vielen Bereichen Anwendung, beispielsweise in der medizinisch/biologischen Forschung oder bei der Analyse von Kundendaten.

Die Vorlesung gibt eine einführende Übersicht in die Theorie des statistischen Lernens und ihre praktische Anwendung. In der Vorlesung werden zunächst die grundlegenden Prinzipien erarbeitet. Danach werden einzelne Methoden näher beleuchtet. In den Übungen werden die Kenntnisse sowohl theoretisch als auch praktisch vertieft. Der praktische Teil der Übungen basiert auf realen R-Datensätzen, z. B. aus Marketing, Finanzen, Gesellschaft und den Lebenswissenschaften.

Literatur:

1.)

T. Hastie, R. Tibshirani, J. Friedman, The Elements of Statistical Learning, Springer, 2001

2.)

S. Kulkarni, G. Harman, An Elementary Introduction to Statistical Learning Theory, J. Wiley, 2011

3.)

V.N. Vapnik, Statistical Learning Theory, J. Wiley, 1996

4.)

B. Clarke, E. Fokoue, H.H. Zhang, Principles and Theory for Data Mining and Machine Learning, Springer, 2009

Inhalt:
Die Theorie der empirischen Prozesse verbindet Resultate und Techniken aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere für gaußsche Prozesse und Zufallselemente mit Werten in Banachräumen, mit Fragestellungen der nichtparametrischen Statistik.

Die Vorlesung eignet sich für Studierende, die die Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie absolviert haben._______________________________________________________________________________________________

Inhalt:
In this course, we introduce advanced models in discrete and continuous time for the pricing and hedging of various financial products. Besides standard put and call options of European and American type a number of more sophisticated derivatives and exotic options are introduced as well.

Further, we will study different methods for the quantification of credit risk. In particular, we will introduce some of the most popular single-name credit risk models and show how these are used to quantify credit risk and to price credit derivatives like credit default swaps.

Participants are expected to be familiar with basic principles of risk-neutral valuation in discrete time as well as with some standard financial derivatives (e.g. through successful participation in the courses Principles of Finance and Futures and Options).

The lecture, which will be given in English, is offered for students in the Finance profile of the M.Sc. Economics, but is also open to students of M.Sc. Volkswirtschaftslehre and M.Sc. Mathematics, especially to those of the profile “Finanzmathematik”.

Literatur:

1.)

Bingham, N., Kiesel, R. : Risk Neutral Valuation : Pricing and Hedging of Financial Derivatives (2nd ed.), Springer Finance, 2004

2.)

Björk, T. : Arbitrage Theory in Continuous Time (3rd ed.), Oxford University Press, 2009

3.)

Hull, J.C. : Options, Futures, and other Derivatives (7th ed.), Prentice Hall, 2009

4.)

Duffie, D., Singleton, K.F. : Credit Risk : Pricing, Measurement, and Management (3rd ed.), Princeton University Press, 2003

5.)

Lando, D. : Credit Risk Modeling : Theory and Applications (3rd ed.), Princeton University Press, 2004

6.)

Lütkebohmert, E. : Concentration Risk in Credit Portfolios (3rd ed.), Springer, 2009

7.)

Shreve, S.E. : Stochastic Calculus for Finance II : Continuous Time Models, Springer Finance, 2004

Inhalt:
Bei diesem Modul handelt es sich um eine Begleitveranstaltung zu Tutoraten zu Mathematikvorlesungen. Teilnehmen können an dem Modul alle Studierenden in einem Bachelor- oder Master-Studiengang in Mathematik (einschließlich Zwei-Hauptfächer-Bachelor mit Mathematik als einem der beiden Fächer), die sich für das gleiche Semester erfolgreich um eine Tutoratsstelle zu einer Mathematikvorlesung beworben haben (mindestens eine zweistündige oder zwei einstündige Übungsgruppen über das ganze Semester, aber ohne Einschränkungen an die Vorlesung). Das Modul kann einmal im Bachelor-Studium und bis zu zweimal im Master-Studium absolviert werden und wird jeweils mit 3 ECTS-Punkten im Wahlmodulbereich (im Zwei-Hauptfächer-Bachelor : „Optionsbereich“) angerechnet. Es handelt sich um eine Studienleistung, d.h. das Modul wird nicht benotet.

Leistungsnachweis :

• Teilnahme an der Einführungsveranstaltung (voraussichtlich in der ersten Vorlesungswoche ; Termin wird kurzfristig im Vorlesungsverzeichnis bekanntgegeben)
• regelmäßige Teilnahme an der Tutorenbesprechung
• zwei gegenseitige Tutoratsbesuche mit einem anderen Modulteilnehmer, welcher nach Möglichkeit die gleiche Vorlesung tutoriert, oder zwei Besuche durch den betreuenden Assistenten und Austausch über die Erfahrungen (die Zuteilung der Paarungen erfolgt bei der Einführungsveranstaltung)
• Schreiben eines Erfahrungsberichts, der an den betreuenden Dozenten geht

In Ermangelung eines passenden Wahlbereichs kann das Modul im Lehramtsstudiengang in dieser Form leider nicht angeboten werden._____________________________________________________________

Inhalt:
Die Vorlesungen über Didaktik bestehen aus zwei Teilen : Didaktik der Algebra und Analysis (WS) und Didaktik der Geometrie und Stochastik (SS).

Eine scharfe Abgrenzung der Einzelthemen ist im schulischen Kontext wenig hilfreich. So wird z.B. die Projektion auf den ersten Blick der Geometrie zugeordnet, andererseits entsteht durch die Projektion einer Drehbewegung die Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Im Sinne einer ganzheitlichen und vernetzenden Didaktik werden in der Vorlesung viele Bezüge zwischen den einzelnen, innermathematischen Disziplinen geschaffen.

Erörtert werden didaktische Methoden der Geometrie und Stochastik, die didaktische Bedeutung des Materials im schulischen Kontext sowie die Bedeutung von kooperativem Lernen (Gruppenarbeit). Zentral ist der Wechsel zwischen symbolischen, ikonischen und enaktiven Repräsentationsebenen (nach Bruner). An konkreten Beispielen wird ein konstruktivistischer Vermittlungsansatz im Kontext der bildungsplanspezifischen Inhalte (lernen, begründen, problemlösen und kommunizieren) aufgezeigt. Die Vorlesung legt Wert darauf, dass die dargestellte Didaktik konkret und interaktiv erlebt wird. Die Folge ist ein ständiger Rollenwechsel des Hörers : Einerseits erlebt er die Dinge aus der Schülerperspektive, auf der anderen Seite schlüpft er in die Rolle des reflektierenden Lehrers.

Literatur:

1.)

Vorlesungsskript : Algebra und Analysis als Abenteuer (kostenfreier Download auf der Homepage der Didaktik)

2.)

Schulz von Thun : Miteinander Reden Bd. 1 und 3, Rowohlt

3.)

Fritz B. Simon, Einführung in Systemtheorie und Konstruktivismus, Carl-Auer Verlag

4.)

Kramer, M. : Mathematik als Abenteuer ; Aulis Verlag

5.)

Padberg, F. : Didaktik der Arithmetik, BI Wissenschaftsverlag

Inhalt:

MINT steht für die Vernetzung von Mathematik, Informatik, Naturwissenschaft und Technik. Der erste Buchstabe steht für Mathematik, jedoch vereint Robotik alle ( !) vier Buchstaben gleichzeitig und eignet sich exemplarisch für die Schule, sowohl im Rahmen einer AG, von Projekttagen oder im Unterricht.

Das Seminar besteht aus zwei Teilen. Zuerst wird aus Fischertechnik ein mobiler Roboter gebaut und mit immer feineren Methoden mit der kindgerechten Software RoboPro programmiert. Im Vordergrund steht ein konstruktivistisches und kommunikatives Lernverständnis. Wie können geeignete Lernumgebungen für Jugendliche so geschaffen werden, dass Lernerfolg, Nachhaltigkeit und Spielfreude gewährleistet ist ?

Der zweite Teil besteht in der Durchführung eines zweitägigen Workshops (Freitagnachmittag bis Sonntagmorgen), der im Seminar geplant und von je zwei Teilnehmern in den Semesterferien durchgeführt wird.

Es sind keinerlei Vorkenntnisse erforderlich.____________________________________________________________

Inhalt:
Analysis bildet einen wesentlichen Bestandteil des Mathematikunterrichts der gymnasialen Oberstufe. Das Seminar soll Studierenden Anregungen geben, wie man Schülerinnen und Schülern ein sinnstiftendes, kompetenzorientiertes und erfolgreiches Lernen von Analysis ermöglicht. Folgende Themenbereiche bilden den inhaltlichen Kern der Veranstaltung (stets unter Berücksichtigung des aktuellen Forschungsstands zum Lehren und Lernen von Analysis) :

1.

Analysis verstehen :
Die Bedeutungen der zentralen Begriffe der Analysis erschöpfen sich nicht in ihrer formalen Definition. Hier gibt es zahlreiche Begriffsaspekte, Vorstellungen, Eigenschaften, Sichtweisen und Anwendungen, die das Verständnis dieser Begriffe vertiefen können. Welche sind diese ? Wie sehen die Brücken zur Schulmathematik aus ?

2.

Schülerdenken verstehen :
Welche Lernvoraussetzungen haben Lernende zu Beginn der Analysis, insbesondere im Bereich Funktionen und Algebra ? Mit welchen typischen Schwierigkeiten und Fehlern muss man rechnen ? Wie kann man damit umgehen ?

3.

Analysis verständlich unterrichten :
Wie sehen gute Aufgaben in der Analysis aus ? Wie können Lernende die wichtigsten Konzepte selbständig entdecken ? Welche unterschiedlichen Zugänge zur Analysis wurden in den letzten Jahrzehnten international vorgeschlagen ?

Inhalt:
Der Einsatz von Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht gewinnt sowohl auf der Ebene der Unterrichtsplanung wie auch der der Unterrichtsrealisierung an Bedeutung. Vor dem Hintergrund konstruktivistischer Lerntheorien zeigt sich, dass der reflektierte Einsatz unter anderem von Computerprogrammen die mathematische Begriffsbildung nachhaltig unterstützen kann. So erlaubt beispielsweise das Experimentieren mit Computerprogrammen mathematische Strukturen zu entdecken, ohne dass dies von einzelnen Routineoperationen (wie z. B. Termumformung) überdeckt würde. Es ergeben sich daraus tiefgreifende Konsequenzen für den Mathematikunterricht. Von daher setzt sich dieses Seminar zum Ziel, den Studierenden die notwendigen Entscheidungs- und Handlungskompetenzen zu vermitteln, um zukünftige Mathematiklehrer auf ihre berufliche Tätigkeit vorzubereiten. Ausgehend von ersten Überlegungen zur Unterrichtsplanung werden anschließend Computer und Tablets hinsichtlich ihres jeweiligen didaktischen Potentials untersucht.

Die dabei exemplarisch vorgestellten Systeme sind :

• dynamische Geometrie-Software : Geogebra
• Tabellenkalkulation : Excel
• Apps für Smartphones und Tablet mit dem Schwerpunkt One Note

Jeder Studierende soll Unterrichtssequenz ausarbeiten, die dann in den Übungen besprochen werden.___________________________________________________________________________________________________________

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Numerik-Vorlesung werden die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet. Dies wird in der Programmiersprache C++ sowie mit Hilfe der kommerziellen Software MATLAB zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

S. Bartels : Numerik 3x9. Springer, 2016.

2.)

R. Plato : Numerische Mathematik kompakt. Vieweg, 2006.

3.)

R. Schaback, H. Wendland : Numerische Mathematik. Springer, 2004.

4.)

J. Stoer, R. Burlisch : Numerische Mathematik I, II. Springer, 2007, 2005.

5.)

G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann : Numerische Mathematik. Springer, 1990.

6.)

P. Deuflhard, A. Hohmann, F. Bornemann : Numerische Mathematik I, II. DeGruyter, 2003.

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Vorlesung sollen die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dies wird in der Programmiersprache C sowie mit Hilfe der kommerziellen Software MATLAB zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

S. Bartels : Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2016.

Inhalt:

In der Praktischen Übung werden die numerischen Verfahren aus der Vorlesung „Theorie und Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen“ besprochen und implementiert. Ziel ist die Entwicklung eines effizienten Programms zur Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen mit Hilfe von Finite-Volumen Verfahren. Als Programmiersprache soll dabei C/C++ verwendet werden, so dass Programmiererfahrung erwartet wird, in dem Umfang, wie sie etwa in einem Praktikum zur Numerik I/II erworben werden kann. Die Teilnahme am Praktikum zur Vorlesung „Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen I“ wird nicht vorausgesetzt.

Studierenden, die vorhaben in der Angewandten Mathematik eine Zulassungs-, Bachelor- oder Masterarbeit zu schreiben, wird die Teilnahme am Praktikum dringend empfohlen.

Literatur:

1.)

D. Kröner : Numerical Schemes for Conservation Laws, Wiley & Teubner, Stuttgart (1997).

2.)

R. J. LeVeque : Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992.

3.)

M. Feistauer, J. Felcman, I. Straskraba, Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow (Buch).

Inhalt:
Die Gruppe O(ℝⁿ) der orthogonalen Abbildungen auf ℝⁿ mit dem Euklidischen Skalarprodukt ist aus der Vorlesung “Lineare Algebra” bekannt. Beispiele orthogonaler Abbildungen sind die Spiegelungen, also lineare Abbildungen auf ℝⁿ, die einen (n- 1)-dimensionalen Untervektorraum (eine “Hyperebene”) von ℝⁿ fest lassen und jeden zu dieser Hyperebene orthogonalen Vektor in sein Negatives überführen.

Für n > 1 ist die Gruppe O(ℝⁿ) unendlich. Sie enthält aber auch dann jede Menge endlicher Untergruppen. Zum Beispiel bildet jede Spiegelung zusammen mit der Identität eine Untergruppe von O(ℝⁿ) der Ordnung zwei. Die Symmetriegruppe eines Würfels im ℝ³ ist eine Untergruppe von O(ℝ³) der Ordnung 48. Sie enthält neben 9 Spiegelungen auch 24 Drehungen, und alle ihre Elemente können als Kompositionen von Spiegelungen geschrieben werden. Solche endlichen Gruppen nennt man endliche Spiegelungsgruppen. Auch die Symmetriegruppen der übrigen Platonischen Körper sind endliche Spiegelungsgruppen.

In diesem Proseminar werden wir die Eigenschaften endlicher Spiegelungsgruppen untersuchen. Natürliche Anwendungen ergeben sich z.B. auf der Suche nach Pflasterungen der Ebene und für die Symmetriegruppen in der Kristallographie. Mithilfe des Wissens aus der “Linearen Algebra” werden wir alle endlichen Spiegelungsgruppen klassifizieren.

Die endlichen Spiegelungsgruppen finden noch viel weitreichendere Anwendungen in der Theorie der Liegruppen, der Singularitätentheorie, und sogar in der Quantenfeldtheorie. Diese Anwendungen können zwar nicht Thema des Proseminars sein, aber vielleicht werden sie Ihnen im Verlaufe Ihres Studiums noch begegnen.

Literatur:

1.)

L.V. Grove, C.T. Benson, Finite Reflection Groups, Springer, 2. Auflage, 1996

2.)

J.E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990

Inhalt:
In diesem Proseminar beschäftigen wir uns mit der Modellierung von physikalischen, chemischen, biologischen und ökonomischen Prozessen, die in vielen Fällen auf eine mathematische Beschreibung durch Systeme von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen führen. Beispiele hierfür sind optimale Routenplanung, optimale Stationierung von Rettungshubschraubern, Wachstum der Weltbevölkerung, Räuber-Beute-Modell, Auftreten von Eiszeiten, Stabilität des Golfstroms, Verkehrsflussmodelle, Kapillaritätsprobleme und Computertomographie. In dem Proseminar werden die Herleitungen der mathematischen Modelle diskutiert und die Modelle selbst analysiert. Das Proseminar richtet sich speziell an Studierende im 4.–6. Semester.

Literatur:

1.)

C. P. Ortlieb : Mathematische Modellierung : Eine Einführung in 12 Fallstudien (2009)

2.)

A. Jüngel : Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen.

Inhalt:
 
Es werden Anwendungen der Stochastik sowohl in den Finanz- als auch den Lebenswissenschaften behandelt. Basierend auf den wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik (die etwa im 1. Teil der Vorlesung Stochastik gelehrt werden), lassen sich bereits einfach Modelle behandeln. In der Finanzmathematik geht es dabei z.B. um die Modellierung von Aktienkursen, in den Lebenswissenschaften um die zeitliche Entwicklung von Allelen in einer Population.

Literatur:

1.)

J. Wakeley. Coalescent Theory. An Introduction. W. H. Freeman, 2008.

2.)

S. Shreve. Stochastic Calculus for Finance I : The Binomial Asset Pricing Model Springer Finance, 2004.

Inhalt:
Wir möchten in diesem Seminar die (globale) Klassenkörpertheorie studieren und, wenn möglich, den Beweis verstehen. Als Grundlage dient uns das sehr anschaulich geschriebene Buch der berühmten japanischen Mathematiker Kato, Kurokawa und Saito.

Worum geht es ?

Sie haben einmal in der Algebra Vorlesung gelernt, dass die Galoisgruppe der n-ten zyklotomischen Erweiterung von ℚ durch die Einheitengruppe im Restklassenring ℤ∕nℤ gegeben ist :

Dies kommt daher, dass die Abbildung ζ_n(ζ_n)^α für eine Zahl α ∈ ℤ, welche teilerfremd zu n ist, einen Automorphismus beschreibt. Hier ist ζ_n := exp() eine primitive n-te Einheitswurzel. Insbesondere ist die Galoisgruppe eine kommutative Gruppe. Ein berühmter Satz von Kronecker und Weber besagt, dass umgekehrt für jede Galoiserweiterung L : ℚ, deren Galoisgruppe kommutativ ist, ein n existiert, so dass L ⊂ ℚ(ζ_n). Dieses Resultat ist der einfachste Fall der sogenannten Klassenkörpertheorie. Es hat in diesem Fall z.B. das quadratische Reziprozitätsgesetz von Gauß zur Folge. Es folgt explizit aus der Inklusion ℚ() ⊂ ℚ(ζ _p) für eine Primzahl p und einer Untersuchung des Zerlegungsverhaltens einer weiteren Primzahl q in diesen Körpern. Die Klassenkörpertheorie entstand durch die Suche nach einer Verallgemeinerung des Gaußschen Reziprozitätsgesetzes auf höhere Potenzreste und allgemeine Zahlkörper.

Die Körper, welche die Rolle der zyklotomischen Körper im Falle eines allgemeinen Zahlkörpers K einnehmen, sind die sogenannten Klassenkörper von K. Wiederum ist jede Galoiserweiterung von K mit kommutativer Galoisgruppe in einem dieser Körper enthalten. Insbesondere sind die Erweiterungen der Form K() (falls ζ_n ∈ K) von dieser Gestalt. Allgemeine Reziprozitätsgesetze sind die Folge.

Literatur:

1.)

Kato, K. ; Kurokawa, N. ; Saito, T. Number theory. 2. Introduction to class field theory. Translations of Mathematical Monographs, 240. Iwanami Series in Modern Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. viii+240 pp. ISBN : 978-0-8218-1355-3

Inhalt:

In der analytischen Zahlentheorie behandelt man zahlentheoretische Fragestellungen mit Methoden aus der Funktionentheorie.
Eine berühmte Idee in dieser Richtung stammt von Euler : Für Re(s) > 1 gilt die Gleichung

wobei p alle Primzahlen durchläuft. Man kann diese Ausdrücke als komplexe Funktion von s ∈ ℂ auffassen. Beispielsweise ergibt sich sofort : Gäbe es nur endlich viele Primzahlen, so wäre∑ < ∞. Also gibt es unendlich viele Primzahlen. Für diese Aussage gibt es viel einfachere Beweise, doch Verfeinerungen dieser Methoden erlauben es, sehr starke Aussagen zu beweisen. Beispielsweise zur Existenz von unendlich vielen Primzahlen mit zusätzlich vorgegebenen Eigenschaften.

Literatur:

1.)

Serre, J.-P. A Course in Arithmetic, Springer 1996.

2.)

Lang, S. Introduction to modular forms (GTM series), Springer, 1987

3.)

Iwaniec H., Kowalski E. Analytic number theory, Colloquium Publications, AMS

4.)

Diamond F., Shurman J. A first course in modular forms. Graduate Texts in Mathematics, 228. Springer-Verlag, New York, 2005.

5.)

Apostol, T. Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer

Wir werden hauptsächlich Serres Buch “A Course in Arithmetic” folgen.

Inhalt:
Im Seminar wollen wir uns diesen Winter mit algebraischen Gruppen beschäftigen.

Literatur:

1.)

Borel : Algebraic Groups

2.)

Springer : Linear Algebraic Groups

3.)

Humphreys : Linear Algebraic Groups

Inhalt:
Viele Fragestellungen aus Naturwissenschaft und Technik führen auf zeitabhängige, nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Am Beispiel der nichtlinearen Wärmeleitungsgleichung und der Navier-Stokes Gleichung erarbeiten wir uns Methoden, um diese lösen zu können. Die behandelten Themen eignen sich als Grundlage für Bachelor- und Masterarbeiten.__________

Inhalt:
Ein wichtiges Problem in der Differentialtopologie ist die Klassifikation glatter Mannigfaltigkeiten. Ein erster Schritt dazu ist die Klassifikation bis auf Bordismus : Zwei Mannigfaltigkeiten M₀ und M₁ heißen kobordant, wenn es eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit W mit Rand ∂W = M₀ M₁ gibt. Wenn wir verlangen, dass M₀, M₁ und W orientiert oder komplex sind, erhalten wir entsprechend orientierte beziehungsweise komplexe Bordismustheorie.

Wir werden sehen, dass sich die Menge aller Mannigfaltigkeiten bis auf Kobordismus mit Hilfe der Pontryagin-Thom-Konstruktion durch Homotopiegruppen sogenannter Thom-Räume beschreiben lässt. Das erlaubt es, Methoden der algebraischen Topologie einzusetzen, um beispielsweise den komplexen Kobordismusring vollständig und explizit zu beschreiben. Umgekehrt verhält sich Kobordismustheorie selbst wie eine (Ko-)Homologietheorie und lässt sich zur Behandlung topologischer Probleme einsetzen.

Wir stellen Grundlagen bereit wie Transversalitäts- und Einbettungssätze sowie Klassifikation von Vektorbündeln und charakteristische Klassen. Anschließend behandeln wir die Pontryagin-Thom-Konstruktion und beschreiben den komplexen Kobordismusring durch Erzeuger und Relationen. Je nach Interesse der Teilnehmer können weitere Themen folgen, zum Beispiel Quillens geometrische Beschreibung des komplexen Kobordismus und die Beziehung zum universellen formalen Gruppengesetz.

Literatur:

1.)

T. Bröcker, T. tom Dieck, Kobordismentheorie, Lect. Notes Math. 178, Springer, Berlin, 1970

2.)

J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Univ. Press Virginia, Charlotteville, 1965

3.)

J. Milnor, J. Stasheff, Characteristic Classes, Annals of Mathematical Studies, No. 76, Princeton University Press, 1974

4.)

D. Quillen, Elementary Proofs of Some Results of Cobordism Theory using Steenrod Operations, Adv. Math. 7, 29–56 (1971)

5.)

R. E. Stong, Notes on Cobordism Theory, Princeton Univ. Press, Princeton, 1968

Inhalt:
Eine Maßalgebra ist eine Boole’sche σ-Algebra, die ein positives σ-additives Wahrscheinlichkeitsmaß trägt. John von Neumann fragte 1937 im “Scottish Book” nach einer Charakterisierung dieser Algebren : Sind die Maßalgebren genau die schwach ω-distributiven Algebren mit höchstens abzählbaren Antiketten ? In den 1940er Jahren erzielte Dorothy Maharam Stone (1917–2014) wesentlichen Fortschritt in dieser Frage und zeigte, dass sie sich auf natürliche Weise in folgende Teilfragen zerlegt (die unter dem Namen Maharam-Probleme bekannt wurden) :
1. Ist es konsistent relativ zu ZFC, dass jede schwach ω-distributive Algebra mit höchstens abzählbaren Antiketten ein positives stetiges Submaß trägt ?
2. Ist jedes ausschöpfende Submaß absolut stetig bezüglich eines endlich additiven Maßes ?
2005, 2006 lösten Balcar, Jech und Pazák und Veličković das erste Problem, und 2008 beantwortete Talagrand die zweite Frage. Im Seminar studieren wir diese Arbeiten, die von trickreicher endlicher Kombinatorik leben.

Literatur:

1.)

Bohuslav Balcar, Thomas Jech, and Tomáš Pazák. Complete CCC Boolean algebras, the order sequential topology, and a problem of von Neumann. Bull. London Math. Soc., 37(6) :885–898, 2005.

2.)

Bohuslav Balcar and Thomas Jech. Weak distributivity, a problem of von Neumann and the mystery of measurability. Bull. Symbolic Logic, 12(2) :241–266, 2006.

3.)

Ilijas Farah. Examples of ϵ-exhaustive pathological submeasures. Fund. Math., 181(3) :257–272, 2004.

4.)

Thomas Jech. Algebraic characterizations of measure algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 136(4) :1285–1294, 2008.

5.)

N. J. Kalton and James W. Roberts. Uniformly exhaustive submeasures and nearly additive set functions. Trans. Amer. Math. Soc., 278(2) :803–816, 1983.

6.)

Dorothy Maharam. An algebraic characterization of measure algebras. Ann. of Math. (2), 48 :154–167, 1947.

7.)

Michel Talagrand. Maharam’s problem. Ann. of Math. (2), 168(3) :981–1009, 2008.

8.)

Boban Veličković. Ccc forcing and splitting reals. Israel J. Math., 142 :209–220, 2005.

Inhalt:
Im Seminar lesen wir

von Aschenbrenner, Van den Dries und Van der Hoeven. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß sich der Körper ℝ[[[x]]] der Transreihen als angeordneter Differentialkörper in den Körper No der Surrealen Zahlen einbetten läßt.

Transreihen sind eine Erweiterung des Laurentreihenkörpers ℝ[[x^-1]]. Eine Transreihe ist zum Beispiel

Auf den Transreihen ist eine natürliche Ableitung definiert. Die Surrealen Zahlen wurden 1976 von Conway (in Games and Numbers) eingeführt. Sie bilden einen angeordneten Körper, der neben der reellen Zahlen auch alle Ordinalzahlen enthält.

Aschenbrenner e.a. haben kürzlich ein vollständiges Axiomensystem für die elementare Theorie von ℝ[[[x]]] angegeben und gezeigt, daß die Theorie modellvollständig ist. Berarducci und Mantova haben in 2015 eine Ableitung auf No konstruiert. Es hat sich nun gezeigt, daß No mit dieser Ableitung die Axiome der Transreihen erfüllt. Tatsächlich findet man eine elementare Einbettung ℝ[[[x]]] → No.

Literatur:

1.)

Aschenbrenner, Van den Dries, Van der Hoeven The surreal Numbers as a universal H-Field http://arxiv.org/abs/1512.02267

2.)

Gonshor An introduction to the theory of surreal numbers 1986

3.)

Edgar Transseries for beginners http://arxiv.org/abs/0801.4877

4.)

Aschenbrenner e.a. Towards a model theory of transseries http://arxiv.org/abs/1112.5237

5.)

Berarducci, Mantova Surreal numbers, derivations, transseries http://arxiv.org/abs/1503.00315

Inhalt:
Im Seminar sollen numerische Verfahren zur approximativen Lösung einiger nichtlinearer partieller Differentialgleichungen diskutiert werden. Dabei sollen Probleme vierter Ordnung sowie die Monge-Ampère-Gleichung im Mittelpunkt stehen. Die Vortragsthemen sind sowohl theoretischen wie auch praktischen Aspekten der Probleme gewidmet.

Für interessierte Lehramtsstudenten, die eine Vorlesung über partielle Differentialgleichungen gehört haben, können geeignete Seminarthemen vereinbart werden.

Die Vortragsthemen können als Grundlage für eine Abschlussarbeit dienen.

Literatur:

1.)

G. Barles, P.E. Souganidis : Convergence of Approximation Schemes for Fully Nonlinear Second Order Equations, Asymptotic Anal., 1991.

2.)

S. Bartels : Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations, Springer, 2015.

3.)

C. E. Gutiérrez : The Monge–Ampère Equation, Birkhäuser, 2001.

Inhalt:
 
Ziel des Seminars ist die Vertiefung des Stoffs der Vorlesung “Topologie”. Es sind sowohl Vorträge in Richtung mengentheoretischer Topologie als auch in Richtung algebraischer Topologie vorgesehen. Das Seminar richtet sich vor allem an Studierende im Lehramtsstudiengang. Frei bleibende Plätze können an Studierende anderer Studiengänge vergeben werden._______________________________________________________________________________________________